Inwendig product

Het inwendig product, ook wel inproduct of scalair product genoemd, van twee vectoren is een scalair, dus het levert een getal op. Het is een begrip uit de lineaire algebra, maar ook in andere takken van de wiskunde wordt hier veel gebruik van gemaakt. De bekendste vorm komt uit de euclidische meetkunde en is voor de vectoren ${\displaystyle \mathbf {u} }$ en ${\displaystyle \mathbf {v} }$ gedefinieerd als:

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =|\mathbf {u} ||\mathbf {v} |\cos \theta }$

waarin ${\displaystyle \theta }$ de hoek tussen de vectoren is en ${\displaystyle |\mathbf {u} |}$ en ${\displaystyle |\mathbf {v} |}$ respectievelijk de normen van de vectoren ${\displaystyle \mathbf {u} }$ en ${\displaystyle \mathbf {v} }$ zijn.

Men noteert het inproduct ook als:

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {u} |\mathbf {v} \rangle }$

Voor de bovenstaande definitie is het nodig de hoek tussen de beide vectoren te kennen, of meer nog dat in de gebruikte meetkunde al een begrip hoek bestaat.

Als de vectoren ${\displaystyle \mathbf {u} }$ en ${\displaystyle \mathbf {v} }$ elementen zijn van de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, de ${\displaystyle n}$-dimensionale vectorruimte over de reële getallen, en:

${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})}$

en

${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})}$

dan kan het inwendig product vastgelegd worden als:

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+\ldots +u_{n}v_{n}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}}$

Deze vorm van het inwendig product heet het standaardinproduct, het is de gebruikelijke vorm van inwendig product in een euclidische ruimte.

Daarna kan dan de hoek tussen de beide vectoren gedefinieerd worden met behulp van dit inproduct en de norm van de vectoren.