Lichaamsuitbreiding (Ned) / Velduitbreiding (Be)
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedia
In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een lichaamsuitbreiding (Nederlands) of velduitbreiding (Belgisch) van een lichaam / veld , in het vervolg kort uitbreiding van
genoemd, ieder lichaam/veld
waarvan
een (strikt) deellichaam / deelveld is. Een uitbreiding van het lichaam/veld
wordt verkregen door aan
een of meer nieuwe elementen toe te voegen. Men noteert de uitbreiding als
, of ook wel als
,
of
.
Als
uit
ontstaat door daar de elementen
aan toe te voegen, schrijft men voor de uitbreiding
.
Zo vormen de complexe getallen een uitbreiding van de reële getallen
door daaraan als nieuw element de imaginaire eenheid
toe te voegen. In
heeft de vergelijking
geen oplossingen. Voegt men echter een nieuw element toe, de imaginaire eenheid
, die is gedefinieerd als een oplossing van deze vergelijking, en voegt men vervolgens ook alle elementen toe die noodzakelijk zijn om een lichaam/veld te vormen, dan verkrijgt men het lichaam/veld
van de complexe getallen. Een gevolg van de hoofdstelling van de algebra is dat alle oplossingen van een algebraïsche vergelijking in
liggen.