Partiële afgeleide
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedia
In de multivariabele analyse, een deelgebied van de wiskunde, is een partiële afgeleide van een functie van een aantal variabelen, de afgeleide waarbij alleen een van de variabelen daadwerkelijk als variabele wordt behandeld en de andere als constanten. Partiële afgeleiden worden in de differentiaalmeetkunde en de vectoranalyse gebruikt. De partiële afgeleide wordt dus per definitie langs de richting van een van de coördinaatassen bepaald.
Neemt men bijvoorbeeld van de functie
de partiële afgeleide naar , dan wordt de variabele als constante behandeld. De constante blijft natuurlijk altijd constant. Hieruit volgt:
De partiële afgeleide van een functie met betrekking tot de variabele wordt op verschillende manieren aangeduid. Om het onderscheid te maken met de gewone afgeleide gebruikt men het ronde partiële-afgeleidesymbool in plaats van men noteert:
- of
Het partiële-afgeleidesymbool werd geïntroduceerd door Adrien-Marie Legendre (1752 - 1833), raakte vervolgens op de achtergrond, maar won na de herintroductie van dit symbool door Carl Jacobi (1804 - 1851) algemene aanvaarding.[1]
De richtingsafgeleide is een generalisatie van de partiële afgeleide en is de afgeleide van de functie in een gegeven richting. Partiële afgeleiden kunnen voor functies in een scalair veld worden bepaald, maar ook voor functies in een vectorveld. Dat geldt voor de richtingsafgeleiden dus hetzelfde. De richting in een scalair veld waarin de richtingsafgeleide het grootst is, is de gradiënt van het scalaire veld. Dat is in ieder punt in het scalaire veld, dus in het hele scalaire veld. De gradiënt wordt ook wel eens de richtingsafgeleide genoemd.