Partiële differentiaalvergelijking
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedia
Een partiële differentiaalvergelijking (pdv) is een wiskundige vergelijking die de partiële afgeleiden van een onbekende functie van twee of meer onafhankelijke variabelen bevat.
In de natuurwetenschappen gaat het in wiskundige zin in heel veel gevallen om continue functies met meer dan 1 onafhankelijke variabele. Voorbeelden zijn de voortplanting van geluid, warmtegeleiding, elektrostatica en elektrodynamica, vloeistofstromen en elasticiteit.
Opmerkelijk genoeg komen gelijksoortige differentiaalvergelijkingen in verschillende takken van de natuurkunde voor. Een voorbeeld hiervan zijn golfvergelijkingen in de akoestiek, in de seismiek en in de elektrodynamica. Door de variaties in de verschillende grootheden in onderlinge samenhang te analyseren kan men een partiële differentiaalvergelijking in gesloten vorm opstellen; in combinatie met de unieke rand- en beginvoorwaarden kan men soms door gebruik te maken van distributies, fouriertransformaties en ander technieken een eenduidige oplossing vinden. Een klassiek voorbeeld hiervan is het gebruik van fourierreeksen bij het oplossen van niet-stationaire warmtegeleidingsproblemen.
In het algemeen zijn voor partiële differentiaalvergelijkingen moeilijker gesloten, ofwel "analytische" oplossingen te vinden, dan voor gewone differentiaalvergelijkingen. Is een analytische oplossing niet mogelijk, dan moet men terugvallen op benaderingsmethoden uit de numerieke wiskunde.