Postulaten van Euclides
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedia
De vijf postulaten van Euclides zijn de vijf axioma's uit het meesterwerk Elementen van Euclides waarmee de grondslagen van de meetkunde worden gelegd.
Deze vijf postulaten zijn:
- Door twee punten kan altijd een rechte lijn gemaakt worden.
- Elke rechte lijn kan eindeloos als rechte lijn uitgebreid worden.
- Elk lijnstuk kan de straal zijn van een cirkel met een van de uiteinden van dat lijnstuk als middelpunt.
- Alle rechte hoeken zijn congruent.
- Als twee lijnen een derde lijn zo snijden dat de som van de binnenhoeken aan een kant kleiner is dan twee rechte hoeken, dan moeten deze twee lijnen elkaar onvermijdelijk snijden als ze genoeg verlengd worden.
Het vijfde postulaat wordt het parallellenpostulaat genoemd. Het is de complexe formulering door Euclides van het ermee equivalente axioma van Playfair:
- Door een punt buiten een oneindig lange rechte lijn gaat precies één oneindig lange lijn die de eerste niet snijdt.
De meetkunde die mede op dit laatste postulaat gebaseerd is, heet euclidische meetkunde. De rechte lijnen in deze meetkunde kun je je voorstellen als in een plat vlak: de twee lijnen in het parallellenpostulaat zijn dan als de spoorstaven van treinrails, die elkaar immers ook nooit snijden.
Geen enkel van de postulaten kan bewezen worden. Het zijn uitgangspunten waarop de meetkunde is gebaseerd. Vele wiskundigen hebben geprobeerd het vijfde postulaat te bewijzen uit de vier andere, maar tevergeefs.
Sterker nog: er zijn (even onbewijsbare) alternatieven voor:
Deze worden niet-euclidische meetkundes genoemd.