For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Riemannintegratie.

Riemannintegratie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

De integraal als oppervlakte onder een functielijn.
De integraal als oppervlakte onder een functielijn.

Binnen de wiskunde, speciaal in de analyse, is Riemannintegratie een methode die werd ontwikkeld door de Duitse wiskundige Bernhard Riemann, om op een interval de oppervlakte onder de grafiek van een functie te berekenen. Die oppervlakte is de (Riemann)integraal van de beschouwde functie over dat interval.

De Riemannintegraal is voor veel theoretische doeleinden ongeschikt, en voor een groot aantal functies en praktische toepassingen kan de integraal eenvoudig bepaald worden met behulp van de hoofdstelling van de integraalrekening of door numerieke integratie.

Sommige van de technische onvolkomenheden van Riemannintegratie worden weggenomen door de Riemann-Stieltjes-integraal, en bijna alle door de Lebesgue-integraal.

Principe

Een Riemannsom
Een Riemannsom

Stel dat we voor een functie die we voor het gemak niet-negatief nemen, de oppervlakte onder de grafiek willen uitrekenen boven een interval in het domein. Riemann bedacht de volgende methode om deze oppervlakte te benaderen:

  • verdeel het interval in een eindig aantal, zeg deelintervallen;
  • noem de lengte van het -de deelinterval ,
  • kies een punt in het -de deelinterval,

dan wordt de gevraagde oppervlakte benaderd door de som van de gemakkelijk te berekenen oppervlakten van de rechthoeken boven de deelintervallen met hoogten . Deze som, die Riemannsom genoemd wordt, is:

Een sequentie van Riemannsommen. Het getal in de rechterbovenhoek van de afbeelding, is de som van de oppervlaktes van alle grijze rechthoeken. Deze som convergeert naar de (Riemann)integraal van de functie.
Een sequentie van Riemannsommen. Het getal in de rechterbovenhoek van de afbeelding, is de som van de oppervlaktes van alle grijze rechthoeken. Deze som convergeert naar de (Riemann)integraal van de functie.

Door de verdeling in deelintervallen te verfijnen, dat wil zeggen door elk deelinterval weer verder te verdelen in een eindig aantal deelintervallen, zal een betere benadering verkregen worden. Bij steeds verdere verfijning, waarbij de lengte van het grootste deelinterval naar 0 gaat, zullen voor sommige functies de bijbehorende Riemannsommen convergeren. Dergelijke functies heten Riemannintegreerbaar en de limiet van de Riemannsommen is de gevraagde integraal, genoteerd als:

of als

Definitie

Voor de definitie van de Riemannintegraal zijn enkele begrippen nodig.

Een verdeling van het interval is een eindige rij getallen van de vorm:

Elk interval heet een deelinterval van de verdeling. De maas van de verdeling is de lengte van het grootste deelinterval.

Een gelabelde verdeling van is een verdeling, waarbij in elk deelinterval een punt is gegeven,

Een gelabelde verdeling heet een verfijning van de verdeling als alle deelpunten van ook deelpunten van zijn en alle labels van ook labels van zijn.

De Riemannsom van een reële functie gedefinieerd op het interval met betrekking tot de gelabelde verdeling van met deelpunten en labels is:

Riemannintegraal

Een begrensde, reële functie gedefinieerd op het interval , heet Riemannintegreerbaar met integraal als er voor elke een is, zo, dat voor elke gelabelde verdeling van met maas kleiner dan geldt:

Deze oorspronkelijke definitie heeft als nadeel dat er erg moeilijk mee te werken is. Er is echter een equivalente, alternatieve definitie die gemakkelijker te hanteren is. In deze alternatieve definitie is Riemannintegreerbaar met integraal als voor elke er een gelabelde verdeling bestaat, zo dat voor elke verfijning geldt:

Beide definities houden in dat met toenemende verfijning of afnemende maas de Riemannsommen convergeren naar de integraal

Darbouxintegraal

Een gelijkwaardige definitie, maar technisch eenvoudiger dan de Riemannintegraal, is de Darbouxintegraal, genoemd naar de Franse wiskundige Gaston Darboux, aan wie deze aanpak meestal wordt toegeschreven. In plaats van Riemannsommen gedefinieerd aan de hand van willekeurige punten uit de deelintervallen, wordt het oppervlak boven een deelinterval ingesloten tussen rechthoeken met hoogten gelijk aan het maximum en het minimum van de functie op een deelinterval.

De Darbouxintegraal is equivalent aan de Riemannintegraal, dat wil zeggen dat een functie die Darbouxintegreerbaar is, ook Riemannintegreerbaar is, en omgekeerd, en dat de Darbouxintegraal gelijk is aan de Riemannintegraal.

Hoofdstelling

Als de afgeleide is van de functie kan volgens de hoofdstelling van de integraalrekening, de integraal van over het interval geschreven worden als:

Merk op dat het zo dus ook mogelijk is een waardeverandering van de primitieve functie te benaderen op het interval zelfs als zelf niet expliciet bepaald kan worden uit

Trivia

Het symbool waarmee een integraal wordt aangeduid, is geïntroduceerd door de Duitse wiskundige Gottfried Wilhelm von Leibniz tegen het eind van 17de eeuw. Het is gebaseerd op de lange s (ſ) en werd gekozen omdat de integraal een limiet is van sommen.

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Riemannintegratie
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.