For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Stelling van Cantor-Bernstein-Schröder.

Stelling van Cantor-Bernstein-Schröder

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de axiomatische verzamelingenleer doet de stelling van Cantor-Bernstein-Schröder een uitspraak over de gelijkmachtigheid van twee verzamelingen. De stelling zegt namelijk dat als er tussen twee verzamelingen zowel een injectieve afbeeldingen van de ene in de andere verzameling is en ook van de andere in de ene, er een bijectieve afbeelding is tussen de beide verzamelingen, en de verzamelingen dus gelijkmachtig zijn. De stelling is genoemd naar Georg Cantor, Felix Bernstein en Ernst Schröder'

Stelling

Laat en injectieve afbeeldingen zijn tussen de verzamelingen en . Dan bestaat er een bijectieve afbeelding .

In termen van kardinaliteit van de twee verzamelingen betekent dit:

Van de verzamelingen en wordt in dat geval gezegd dat zij gelijkmachtig zijn. Dit is uiteraard een zeer nuttige eigenschap in de ordening van kardinaalgetallen.

Bewijs

Het volgende bewijs is geparafraseerd naar Thomas Jech.[1] Noem en . Dan is en . Het volstaat dus de stelling te bewijzen voor met een bijectie van naar .

Noem en definieer recursief voor de verzamelingen en . Dan kan men nagaan dat de volgende functiedefinitie de gezochte bijectie levert:

Referenties

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Stelling van Cantor-Bernstein-Schröder
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.