In de axiomatische verzamelingenleer doet de stelling van Cantor-Bernstein-Schröder een uitspraak over de gelijkmachtigheid van twee verzamelingen. De stelling zegt namelijk dat als er tussen twee verzamelingen zowel een injectieve afbeeldingen van de ene in de andere verzameling is en ook van de andere in de ene, er een bijectieve afbeelding is tussen de beide verzamelingen, en de verzamelingen dus gelijkmachtig zijn. De stelling is genoemd naar Georg Cantor, Felix Bernstein en Ernst Schröder'

Stelling

Laat ${\displaystyle f:A\to B}$ en ${\displaystyle g:B\to A}$ injectieve afbeeldingen zijn tussen de verzamelingen ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$. Dan bestaat er een bijectieve afbeelding ${\displaystyle h:A\to B}$.

In termen van kardinaliteit van de twee verzamelingen betekent dit:

${\displaystyle |A|\leq |B|\ \ {\mbox{en))\ \ |B|\leq |A|\quad \Rightarrow \quad |A|=|B|}$

Van de verzamelingen ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ wordt in dat geval gezegd dat zij gelijkmachtig zijn. Dit is uiteraard een zeer nuttige eigenschap in de ordening van kardinaalgetallen.

Bewijs

Het volgende bewijs is geparafraseerd naar Thomas Jech.^[1] Noem ${\displaystyle B'=g(B)}$ en ${\displaystyle A_{1}=g(f(A))}$. Dan is ${\displaystyle A_{1}\subset B'\subset A}$ en ${\displaystyle |A_{1}|=|A|}$. Het volstaat dus de stelling te bewijzen voor ${\displaystyle A_{1}\subset B\subset A}$ met ${\displaystyle f}$ een bijectie van ${\displaystyle A}$ naar ${\displaystyle A_{1))$.

Noem ${\displaystyle A_{0}=A,\ B_{0}=B}$ en definieer recursief voor ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ de verzamelingen ${\displaystyle A_{n+1}=f(A_{n})}$ en ${\displaystyle B_{n+1}=f(B_{n})}$. Dan kan men nagaan dat de volgende functiedefinitie de gezochte bijectie levert:

${\displaystyle h(x)={\begin{cases}f(x)&\exists n\in {\mathbb {N} }:x\in A_{n}\setminus B_{n},\\x&{\hbox{anders))\\\end{cases))}$