Vergelijking van Pell
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedia
De vergelijking van Pell is een diofantische vergelijking van de vorm
- ,
waarin een niet-kwadratisch geheel getal is en en gehele getallen zijn. Op triviale wijze lossen en deze vergelijking natuurlijk altijd op, maar dat is niet waarom het gaat. Lagrange bewees dat voor alle natuurlijke getallen die geen perfect kwadraatgetal zijn, er toch een en een bestaan, die voldoen aan de vergelijking van Pell. Er bestaat zelfs een oneindig aantal van dergelijke oplossingen voor deze vergelijking. Deze oplossingen leveren goede rationale benaderingen van de vorm voor de vierkantswortel van .
De naam van deze vergelijking kwam voort uit de onterechte toeschrijving door Leonhard Euler, die de eerste bestudering van de vergelijking toeschreef aan de Engelse wiskundige John Pell. Euler was zich bewust van het werk van William Brouncker, de eerste Europese wiskundige die een algemene oplossing voor de vergelijking vond, maar blijkbaar verwarde hij Brouncker met Pell. De vergelijking werd voor het eerst uitgebreid bestudeerd in het klassieke India, te beginnen met Brahmagupta, die de chakravala-methode ontwikkelde, om de vergelijking van Pell en andere onbepaalde kwadratische vergelijkingen in 628 in zijn Brahmasphuta-siddhanta op te lossen, dit ongeveer duizend jaar voor de tijd, waarin Pell en Brouncker leefden. Zijn Brahmasphuta-siddhanta werd in 773 in het Arabisch vertaald. Van daaruit kwam er in 1126 een vertaling in het Latijn. Bhāskara II, in de 12e eeuw en Narayana, in de 14e eeuw vonden beide algemene oplossingen voor de vergelijking van Pell en andere onbepaalde kwadratische vergelijkingen. Oplossingen voor specifieke voorbeelden van de vergelijking van Pell, zoals de Pellgetallen, die voortvloeien uit de oplossing van de vergelijking met , waren al duizend jaar eerder, in de tijd van Pythagoras in het Oude-Griekenland en in een vergelijkbaar tijdvak in India, bekend.