Vermoeden van Poincaré
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedia
In 1904 stelde Henri Poincaré dat er een eenvoudig criterium moet zijn om te zien of een n-dimensionale gekromde ruimte de vorm van een n-sfeer heeft. De n-sfeer of n-dimensionale sfeer is de veralgemening van de gewone tweedimensionale sfeer naar hogere dimensies, of nog: de rand van een (n+1)-dimensionale bol.
Concreet zegt het vermoeden van Poincaré dat elke gesloten gekromde ruimte die homotoop is met een sfeer, er ook homeomorf mee is. Velen hebben in de twintigste eeuw gezocht naar een bewijs voor dit vermoeden, zonder succes. In 1960 werd het bewijs geleverd voor ruimten van dimensie groter dan vier door Stephen Smale. Michael Freedman vervolledigde dit in 1983 voor dimensie vier. Voor dimensie n=3 bleef het probleem open tot 2002. In die vorm was het een van de millenniumprijsproblemen waarvoor een prijs van 1 miljoen dollar is uitgeloofd door het Clay Mathematics Institute met officiële probleembeschrijving. In 2002 en 2003 zijn er bewijzen opgesteld door Grigori Perelman, die daarna wereldwijd door wiskundigen werden bestudeerd en aangevuld.
Exact geformuleerd luidt het probleem in drie dimensies:
- Zij een compacte driedimensionale (topologische) variëteit (zonder rand). Kan de fundamentaalgroep van triviaal zijn zonder dat homeomorf is met , de driedimensionale sfeer?
In het algemeen is homotopie-equivalentie zwakker dan homeomorfisme, zelfs binnen de beperkte klasse der compacte driedimensionale variëteiten; getuigen hiervan de lensruimten van Tietze.