Affiene transformatie

Een affiene transformatie is een bijectieve transformatie van de affiene meetkunde, waarbij de meetkundige structuur hetzelfde blijft: punten blijven punten, lijnen blijven rechten, vlakken blijven vlakken en evenwijdige lijnen blijven evenwijdig.

De affiene groep is de groep van affiene transformaties. Ze zijn van de vorm ${\displaystyle T(x)=Ax+b}$, met ${\displaystyle A}$ inverteerbaar.

Als ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ de coördinaten zijn van een punt ${\displaystyle x}$ in de ${\displaystyle n}$-dimensionale affiene meetkunde, worden de coördinaten van het beeld ${\displaystyle T(x)}$ onder een affiene transformatie ${\displaystyle T}$ bepaald door:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}}$,

waarin ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ de matrix is van een lineaire afbeelding van de ruimte en ${\displaystyle b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}}$ de coördinaten zijn van een translatievector ${\displaystyle b}$.

Als de matrix ${\displaystyle A}$ de eenheidsmatrix is, spreekt men van een translatie. Als ${\displaystyle A}$ een veelvoud is van de eenheidsmatrix, spreekt men van een vermenigvuldiging. De translaties en vermenigvuldigingen vormen een groep, namelijk die van de dilataties.