Loading AI tools
Van Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de functionaalanalyse, een tak van de wiskunde, is een banach-algebra een complexe banachruimte waarop een geschikte "samenstelling" of "vermenigvuldiging" van vectoren is gedefinieerd.
Een banach-algebra is een structuur die bestaat uit een banachruimte en een bewerking die van de onderliggende vectorruimte een associatieve algebra met eenheidselement (neutraal element) maakt, en die op de volgende wijze compatibel is met de norm:
De definitie is geïnspireerd door de collectie van alle begrensde (=continue) lineaire transformaties van een banachruimte . Deze collectie is op canonieke wijze een vectorruimte over hetzelfde getallenlichaam als , en krijgt als norm
Deze genormeerde vectorruimte is volledig, dus is eveneens een banachruimte. De samenstelling van lineaire transformaties maakt er een banach-algebra van. Het eenheidselement is de identieke transformatie .
In het bijzondere geval is de algebra der complexe -matrices.
Een ander belangrijk voorbeeld is de ruimte van alle continue begrensde complexwaardige functies op een topologische ruimte . Deze vormt een banachruimte voor de supremumnorm
De puntsgewijze vermenigvuldiging van functies maakt er een commutatieve banach-algebra van. Het eenheidselement is de constante functie .
Meestal eist men dat de topologische ruimte compact is. De voorwaarde "begrensd" is dan een gevolg van "continu". In het bijzonder geval dat bestaat uit een eindig aantal punten met de discrete topologie, ontstaat de banach-algebra met de coördinaatsgewijze vermenigvuldiging.
De banachruimte der complexwaardige integreerbare functies op de reële getallen (zie Lp-ruimte), uitgerust met het convolutieproduct
voldoet aan alle voorwaarden van een banach-algebra, behalve dat er geen eenheidselement bestaat. Er bestaat echter wel een technisch handigheidje om aan kunstmatig een eendimensionale ruimte met een eenheidselement toe te voegen, bijvoorbeeld in de vorm van de dirac-maat.
Het spectrum van een vector is de verzameling complexe getallen waarvoor geen invers element heeft ten opzichte van de vermenigvuldiging van vectoren.
In de commutatieve banach-algebra der continue functies op een compacte topologische ruimte, bestaat het spectrum van een functie uit haar waardenbereik Ran().
In de banach-algebra der complexe -matrices is het spectrum van een matrix de verzameling van zijn eigenwaarden.
Het bestaan van een vermenigvuldiging van vectoren maakt het mogelijk machtreeksen te bestuderen. Zo komt men tot het begrip van een holomorfe vectorwaardige functie. In het bijzonder heeft het zin te spreken van de exponentiële functie van een banach-algebra:
Hier wordt met het product van factoren bedoeld. De reeks convergeert in de norm van de banach-algebra voor iedere willekeurige vector .
De identiteit is evenwel slechts gegarandeerd als en commuteren, d.w.z:
In het algemeen kan men een betekenis verlenen aan voor elke complexe functie die holomorf is op een open omgeving van het spectrum van . Dit is een voorbeeld van een functionele calculus: de definitie van een getallenfunctie uitbreiden tot meer algemene objecten, in dit geval vectoren van een banach-algebra.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.