Centralisator

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de centralisator van een element van een groep de verzameling elementen van die groep die met het element commuteren.

Definitie

Onder de centralisator ${\displaystyle C_{G}(x)}$ van een element ${\displaystyle x}$ van een groep ${\displaystyle G}$ verstaat men de verzameling

${\displaystyle C_{G}(x)=\{g\in G\mid gx=xg\}}$

Ook voor een deelverzameling ${\displaystyle D}$ van ${\displaystyle G}$ kan het begrip gedefinieerd worden. Onder de centralisator ${\displaystyle C_{G}(D)}$ van ${\displaystyle D}$ verstaat men de verzameling

${\displaystyle C_{G}(D)=\{g\in G\mid gd=dg\ {\text{voor alle}}\ d\in D\}}$

Eigenschappen

• De centralisator is een ondergroep van de groep, en wel de grootste ondergroep, waarin de elementen van deze verzameling centraal zijn, dat wil zeggen in het centrum van deze ondergroep liggen.
• De centralisator van de groep zelf is het centrum van de groep.
• De centralisator van een element uit het centrum van de groep is de groep zelf.
• Kies een eindige groep ${\displaystyle G}$ en een ${\displaystyle x\in G}$. ${\displaystyle \langle x\rangle }$ stelt de door ${\displaystyle x}$ voortgebrachte cyclische ondergroep voor. Er geldt dan: ${\displaystyle \langle x\rangle }$ is cyclisch, dus een ondergroep van ${\displaystyle C_{G}(x)}$.