Complement (verzamelingenleer)

In de verzamelingenleer is het complement van een deelverzameling ${\displaystyle A}$ gedefinieerd met betrekking tot een verzameling ${\displaystyle U}$ waarvan alle betrokken verzamelingen deel van zijn. Het complement van ${\displaystyle A}$ is de deelverzameling van ${\displaystyle U}$ bestaande uit alle elementen van ${\displaystyle U}$ die niet tot ${\displaystyle A}$ behoren.

Het complement ${\displaystyle A^{c}}$ van de deelverzameling ${\displaystyle A}$ van ${\displaystyle U}$:
${\displaystyle A^{c}=U\setminus A}$.

De verzameling ${\displaystyle U}$ wordt in dit verband als universele verzameling aangeduid en het complement van ${\displaystyle A}$ genoteerd als

${\displaystyle A^{c}}$ of ${\displaystyle {\bar {A}}}$,

zonder verdere verwijzing naar ${\displaystyle U}$; dus:

${\displaystyle A^{c}=\{x\in U\mid x\notin A\}}$

Is ${\displaystyle U}$ niet de universele verzameling, dan is er sprake van een relatief complement en is er geen speciale notatie. Het relatieve complement van ${\displaystyle A}$ ten opzichte van ${\displaystyle B}$ kan uitgedrukt worden als verschil

${\displaystyle B\setminus A}$

of

${\displaystyle B-A}$

Eigenschappen

Het complement van het complement van een verzameling is de verzameling zelf:

${\displaystyle (A^{c})^{c}=A}$

Samen met het complement vormt een verzameling de hele universele verzameling:

${\displaystyle A^{c}\cup A=U}$

Een verzameling heeft geen gemeenschappelijk element met zijn complement:

${\displaystyle A^{c}\cap A=\emptyset }$

'Buiten' de universele verzameling is niets:

${\displaystyle U^{c}=\emptyset }$

${\displaystyle \emptyset ^{c}=U}$

Regels van De Morgan:

${\displaystyle (A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}}$

${\displaystyle (A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}}$