Loading AI tools
Van Wikipedia, de vrije encyclopedie
Convolutie (samenvouwing) is een wiskundige bewerking, aangeduid door (asterisk) of , op twee functies met als resultaat een nieuwe functie: de convolutie van beide. Synoniem voor convolutie is Duhamel-integraal of -som, Faltung-integraal of -som (Duits: vouwen). Een interpretatie van de convolutie is de transformatie van een van beide functies door de andere. Daarbij is het resultaat de oppervlakte van de overlap van beide functies, waarbij de tweede functie verschuift.
Het voorbeeld in figuur 1 kan men als volgt bekijken:
Een gelijksoortige analyse kan men geven bij het voorbeeld in figuur 2.
Op een druk kruispunt gebeuren elke week wel een of meer ongelukken. Het aantal ongelukken in de komende twee weken is de som van het aantal ongelukken van komende week en van de week daarna. Als de komende twee weken 5 ongelukken zullen gebeuren, kan dat de som zijn van 0 volgende week en 5 de week daarna, of 1 komende week en 4 daarna, of 2+3, 3+2, 4+1 of 5+0. Om de kans te bepalen dat de volgende twee weken 5 ongelukken zullen gebeuren, moeten de kansen op de genoemde mogelijkheden bij elkaar worden opgeteld. Die kans is de convolutie van de kansen van de komende week en van de week daarna.
In bovenstaande figuur 1 zien we de convolutie van een blokfunctie met zichzelf. De blokfunctie is gedefinieerd als
Voor de convolutie geldt:
Omdat
volgt voor
Voor is
en voor
De convolutie is dus een driehoeksfunctie, die getoond wordt in figuur 1.[1]
Laat en twee rijen getallen zijn, geïndexeerd door gehele getallen. De convolutie van en , genoteerd of , is een nieuwe getallenrij waarvan de algemene term gegeven wordt door
op voorwaarde dat de reekssom absoluut convergeert.
Laat en twee meetbare functies zijn op de reële getallen. De convolutie van en is een nieuwe functie , met als voorschrift
op voorwaarde dat de integraal bestaat in de absoluut convergente zin van Lebesgue.
Deze bewerking kan als een voortschrijdend gewogen gemiddelde van gezien worden, met (of eigenlijk: de spiegeling van ) als rij gewichten.
In minder theoretische teksten wordt de convolutie van de functies en , op een enigszins verwarrende manier, wel genoteerd als:
Op de achtergrond speelt daarbij de gedachte dat de expliciete afhankelijkheid van de functies van de onafhankelijke variabele zichtbaar is.
met een willekeurig complex (reëel) getal.
met de afgeleide van (continu geval) en (discreet geval).
met de fourier-getransformeerde van .
Gelijkaardige eigenschappen gelden ook voor de Laplacetransformatie:
en de Z-transformatie:
Soms wordt getracht, door zogeheten deconvolutie, uit de convolutie van een onbekende functie en een bekende functie , de onbekende terug te vinden. Dit is echter in lang niet alle gevallen mogelijk.
Convolutie wordt onder meer gebruikt in de systeemtheorie, meer bepaald in de regeltechniek. De functies en stellen dan signalen voor. Rijen zijn signalen in discrete tijd, functies met reëel domein zijn signalen in continue tijd.
Een lineair tijdsinvariant systeem gegeven door de impulsantwoord , geeft als output de convolutie van de impulsrespons met het ingangssignaal :
Deze uitdrukking geldt in de veronderstelling dat alle beginvoorwaarden van het systeem nul zijn (nultoestand).
In de coderingstheorie wordt bij een convolutiecode uitgegaan van bijvoorbeeld een binair schuifregister, waaraan een rij te coderen bits toegevoerd wordt. De uitvoer van het schuifregister is het te versturen codewoord; deze uitvoer kan worden opgevat als de convolutie van de pulsresponsie met de ingevoerde bitrij. De lengte van een codewoord is de lengte van de inputrij plus het aantal vertragingselementen in het schuifregister.
De convolutie vindt ook toepassing in de kansrekening. De kansdichtheid van de som van twee onderling onafhankelijke continue stochastische variabelen is de convolutie van de beide afzonderlijke dichtheden. Ook voor discrete stochastische variabelen geldt een overeenkomstige eigenschap.
De som van twee onafhankelijke continue stochastische variabelen is opnieuw continu, en haar dichtheidsfunctie is de convolutie van de twee afzonderlijke dichtheidsfuncties.
1. De stochastische variabelen en zijn onderling onafhankelijk en beide exponentieel verdeeld met parameter . De kansdichtheid van de som van beide is voor :
De som heeft dus een Erlang-verdeling met parameters en 2.
2. De stochastische variabelen en zijn onderling onafhankelijk en beide Poisson-verdeeld met respectievelijke parameters en . De kansfunctie van de som van beide is voor :
De som heeft dus ook een Poisson-verdeling, maar met parameter .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.