Cyclische groep

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een cyclische groep een groep die door een enkel element kan worden voortgebracht. Dat element wordt de voortbrenger van de groep genoemd. Dat houdt in dat bij een multiplicatieve schrijfwijze, ieder element van de groep een macht is van de voortbrenger. Wanneer de notatie additief is, is ieder element een veelvoud van de voortbrenger. De cyclische groepen zijn commutatief, in vergelijking met andere groepen eenvoudig in hun beschrijving en volledig geclassificeerd.

Het gaat wanneer groepen als cyclische groep worden aangemerkt meestal om eindige cyclische groepen.

Definitie

Een groep ${\displaystyle (G,*)}$ wordt cyclisch genoemd als er een element ${\displaystyle g\in G}$ is zodanig dat

${\displaystyle G=\{g^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}}$

Daarin is

${\displaystyle g^{n}=\underbrace {g*g*\ldots *g} _{n{\text{ keer}}}}$

Aangezien een groep die door een element in die groep wordt voortgebracht, een ondergroep van die groep is, volstaat het te laten zien dat er een element ${\displaystyle g\in G}$ bestaat zodanig dat ${\displaystyle G}$ zelf de enige ondergroep is waar ${\displaystyle g}$ element van is.

Voor elk positief geheel getal ${\displaystyle n}$ is er precies één cyclische groep (tot op isomorfisme) waarvan de orde ${\displaystyle n}$ is, en is er precies één oneindige cyclische groep (de gehele getallen onder optelling). Vandaar dat de cyclische groepen de eenvoudigste groepen zijn en zij ook volledig zijn geclassificeerd.