Dan en slechts dan als

Dan en slechts dan als (afkorting: desda) is in de wiskunde en in de logica een algemeen gebruikte uitdrukking om equivalentie van twee uitspraken aan te geven. Varianten zijn onder andere bi-implicatie, wederzijdse implicatie, dan en alleen dan als en P is nodig en voldoende voor Q (als alternatief voor P dan en slechts dan als Q). Het symbool voor 'dan en slechts dan als' is ⇔. Onder andere in het academisch wiskundemilieu gebruikt men als en slechts dan als.

Equivalente uitdrukkingen: asa (het in België meer gebruikte als en slechts als), aeaa (als en alleen als). In Engelstalige literatuur gebruikt men de uitdrukking iff (voor if and only if).

${\displaystyle P\Leftrightarrow Q}$ betekent: P is waar dan en slechts dan als Q waar is. Een andere manier om hetzelfde te zeggen is: óf P en Q zijn allebei waar, óf P en Q zijn allebei onwaar.

Waarheidstabel

De waarheidstabel voor de bi-implicatie is als volgt:
(T = True = waar, F = False = onwaar)

p	q		p ⇔ q
T	T		T
T	F		F
F	T		F
F	F		T

Voorbeeld

Een voorbeeld van het gebruik van '${\displaystyle \Leftrightarrow }$':

${\displaystyle x^{2}=9\Leftrightarrow x=3\!\,\vee x=-3}$.

Dit betekent twee dingen, namelijk enerzijds:

${\displaystyle x^{2}=9\Rightarrow x=3\!\,\vee x=-3}$.

dat wil zeggen: Uit het feit dat x in het kwadraat 9 oplevert, volgt dat x gelijk is aan 3 of aan −3. Immers, er zijn geen andere getallen die gekwadrateerd 9 opleveren.

en anderzijds

${\displaystyle x=3\!\,\vee x=-3\Rightarrow x^{2}=9}$.

dat wil zeggen: Uit het feit dat x gelijk is aan 3 of aan −3, volgt dat x in het kwadraat 9 is. Immers, het kwadraat van 3 zowel als van −3 is 9.

Overigens geldt ook:

${\displaystyle x=3\Rightarrow x^{2}=9}$.

Dit betekent: uit het feit dat x gelijk is aan 3, volgt dat x in het kwadraat 9 is. Hier mag niet het symbool '${\displaystyle \Leftrightarrow }$' gebruikt worden, want uit x² = 9 hoeft niet te volgen dat x = 3. Immers ook x = −3 is mogelijk.

Zie ook

• noodzakelijke en voldoende voorwaarde