Dirac-maat

In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een dirac-maat ${\displaystyle \delta _{x}}$ op een meetbare ruimte ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ de maat die de singleton ${\displaystyle \{x\}}$ de maat 1 geeft:

${\displaystyle \delta _{x}(\{x\})=1}$

In het algemeen wordt de maat voor een meetbare verzameling ${\displaystyle A\in \Sigma }$ gedefinieerd door

${\displaystyle \delta _{x}(A)={\begin{cases}0,&x\not \in A;\\1,&x\in A.\end{cases}}}$

De dirac-maat is een kansmaat en vertegenwoordigt in termen van waarschijnlijkheid de bijna zekere uitkomst ${\displaystyle x}$ in de uitkomstenruimte ${\displaystyle X}$.

De naam van de dirac-maat is afgeleid van de dirac-deltafunctie.

Eigenschappen van een dirac-maat

• ${\displaystyle \delta _{x}}$ is een kansmaat, en dus een eindige maat.

Veronderstel dat ${\displaystyle (X,T)}$een topologische ruimte is en dat ${\displaystyle \Sigma }$ ten minste zo "fijn" is als de borelstam ${\displaystyle \sigma (T)}$ op ${\displaystyle X}$.

• ${\displaystyle \delta _{x}}$ is dan en slechts dan een strikt positieve maat als de topologie ${\displaystyle T}$ zodanig is dat ${\displaystyle x}$ in elke niet-lege open verzameling ligt.
• Aangezien ${\displaystyle \delta _{x}}$ een kansmaat is, is het ook een lokaal eindige maat.
• Als ${\displaystyle X}$ een hausdorff-ruimte is met de borel sigma-algebra, dan is een inwendige reguliere maat, aangezien de singletons altijd compact zijn. ${\displaystyle \delta _{x}}$ is dus ook een radon-maat.
• Ervan uitgaande dat de topologie ${\displaystyle T}$ "fijn" genoeg is zodat ${\displaystyle \{x\}}$ gesloten is, wat het geval is in de meeste toepassingen, dan is ${\displaystyle \{x\}}$ de drager ${\displaystyle \mathrm {supp} (\delta _{x})}$ van ${\displaystyle \delta _{x}}$. Verder is ${\displaystyle \delta _{x}}$ de enige kansmaat die door ${\displaystyle \{x\}}$ wordt gedragen.
• Als ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ een ${\displaystyle n}$-dimensionale euclidische ruimte is met de gebruikelijke sigma-algebra en ${\displaystyle n}$-dimensionale lebesgue-maat ${\displaystyle \lambda _{n}}$, dan is ${\displaystyle \delta _{x}}$ een singuliere maat met betrekking tot ${\displaystyle \lambda _{n}}$.