Faculteit (wiskunde)

De faculteit van een natuurlijk getal ${\displaystyle n}$, genoteerd als ${\displaystyle n!}$ (n faculteit), is het product van de getallen ${\displaystyle 1}$ tot en met ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n}$

${\displaystyle n}$	${\displaystyle n!}$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5 040
8	40 320
9	362 880
10	3 628 800
11	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800
14	87 178 291 200
15	1 307 674 368 000
16	20 922 789 888 000
17	355 687 428 096 000
18	6 402 373 705 728 000
19	121 645 100 408 832 000
20	2 432 902 008 176 640 000

Recursief geldt dus voor de faculteit:

${\displaystyle n!=n(n-1)!}$

Voor bijvoorbeeld ${\displaystyle n=5}$ is:

${\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120}$

In overeenstemming met de definitie van het lege product is afgesproken dat

${\displaystyle 0!=1}$

De faculteitsfunctie groeit snel, zelfs sneller dan een exponentiële functie. De eerste 20 waarden, met nul, staan hiernaast. Het aantal decimalen van n! , met n > 1 , is gelijk aan ¹⁰log 1 + ... + ¹⁰log n naar boven afgerond.

${\displaystyle \left\lceil ^{10}\!\log n!\right\rceil =\left\lceil \sum _{i=1}^{n}\,^{10}\!\log i\right\rceil }$

Voor n = 1000 komt het aantal decimalen op 2568.

Toepassing

Een belangrijke toepassing van de faculteit is in de combinatoriek, als antwoord op de vraag op hoeveel manieren ${\displaystyle n}$ elementen kunnen worden gerangschikt. Zo'n rangschikking heet een permutatie en daarvan zijn er ${\displaystyle n!}$. Met behulp van dit resultaat worden ook de aantallen variaties en combinaties afgeleid.

Benadering

Voor grote waarden van ${\displaystyle n}$ kan de faculteit van dat getal benaderd worden met de formule van Stirling:

${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

Voor kleine waarden van ${\displaystyle n}$ is de benadering slecht; voor n=1 geldt bijvoorbeeld ${\displaystyle 1!=1}$, maar ${\displaystyle {\sqrt {2\pi \cdot 1}}\,(1/e)^{1}=0{,}92214\ldots }$

De formule wordt veelvuldig toegepast in de statistische fysica, waar ${\displaystyle n}$ gegeven wordt door het aantal deeltjes, en de discrepantie tussen de echte waarde en Stirlings benadering verwaarloosbaar is.

De onderstaande tabel geeft voor een aantal waarden van ${\displaystyle n}$ de bijhorende waarde voor ${\displaystyle n!}$ en de benadering volgens Stirling:

${\displaystyle n}$	${\displaystyle n!}$	benadering door Stirling
10	3 628 800	3 598 695,624
20	0,24329 · 1019	0,2422 · 1019
30	0,26525 · 1033	0,2645 · 1033
40	0,8159 · 1048	0,8142 · 1048
50	0,3041 · 1065	0,3036 · 1065
100	0,9333 · 10158	0,9325 · 10158
1000	4,024 · 102567	4,024 · 102567
10 000	2,846 · 1035 659	2,846 · 1035 659

Gammafunctie

Grafiek van de Gammafunctie

De gammafunctie

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt}$

is, voor gehele getallen, een verschoven versie van de faculteitsfunctie:

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$

De gammafunctie is voor alle complexe getallen gedefinieerd, met uitzondering van de negatieve gehele getallen ${\displaystyle -1,-2,-3,\ldots }$.

Algoritme

Het onderstaande algoritme geschreven in Python berekent van een ingevoerd getal de faculteit.

getal = int(input())
fac = getal
while (getal > 2):
    getal -= 1 #getal = getal -1
    fac *= getal #fac = fac * getal

print("De faculteit van het ingevoerde getal is: ",fac)

Zie ook

• Dubbelfaculteit
• Subfaculteit
• Primoriaal