Galoisuitbreiding

In de wiskunde is een galoisuitbreiding van een lichaam ${\displaystyle K}$ een algebraïsche uitbreiding ${\displaystyle L/K}$ die normaal en separabel is, of equivalent daarmee die waarbij het lichaam ${\displaystyle K}$ elementsgewijs invariant is onder de automorfismegroep ${\displaystyle \mathrm {Aut} (L/K)}$.

Karakterisering van galoisuitbreidingen

Een belangrijke stelling van Emil Artin stelt dat voor een eindige lichaamsuitbreiding ${\displaystyle L/K}$ elk van de volgende uitspraken inhoudt dat ${\displaystyle L/K}$ een galoisuitbreiding is.

• ${\displaystyle L/K}$ is een normale en separabele uitbreiding.
• ${\displaystyle |\mathrm {Aut} (L/K)|=[L:K]}$, dat wil zeggen: het aantal automorfismen is gelijk aan de graad van de uitbreiding.

Andere gelijkwaardige uitspraken zijn:

• Wanneer een poynoom ${\displaystyle f}$ in de veeltermring ${\displaystyle K[x]}$ irreducibel is, maar met ten minste één wortel in ${\displaystyle L}$, is ${\displaystyle f}$ reducibel over ${\displaystyle L}$ en separabel.
• ${\displaystyle |\mathrm {Aut} (L/K)|\geq [L:K]}$, dat wil zeggen dat het aantal automorfismen niet kleiner is dan de graad van de uitbreiding.
• ${\displaystyle K}$ is het elemensgewijs invariante lichaam van een ondergroep van ${\displaystyle \mathrm {Aut} (L).}$
• ${\displaystyle K}$ is het elemensgewijs invariante lichaam van ${\displaystyle \mathrm {Aut} (L/K).}$
• Er is een eenduidig verband tussen deellichamen van ${\displaystyle L/K}$ en subgroepen van ${\displaystyle \mathrm {Aut} (L/K).}$

Voorbeelden

Voorbeelden van galoisuitbreidingen kunnen op de volgende manier worden geconstrueerd.

• Neem een willekeurig lichaam ${\displaystyle L}$ en een ondergroep van ${\displaystyle \mathrm {Aut} (L)}$ waarvan ${\displaystyle K}$ het invariante lichaam is.
• Neem een willekeurig lichaam ${\displaystyle K}$, een separabele polynoom over ${\displaystyle K}$ en laat ${\displaystyle L}$ het splijtlichaam van de polynoom zijn.

De rationale getallen uitgebreid met het getal ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ vormen een galoisuitbreiding, terwijl de uitbreiding met alleen ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ geen galoisuitbreiding is. Beide uitbreidingen zijn separabel omdat ze de karakteristiek 0 hebben. De eerste uitbreiding is het splijtlichaam van de polynoom ${\displaystyle x^{2}-2}$. De tweede heeft een normale afsluiting die de complexe 3e eenheidswortels bevat, dus geen splijtlichaam is. Er is geen ander automorfisme dan de identiteit, omdat het zich in de reële getallen bevindt en ${\displaystyle x^{3}-2}$ slechts één reële wortel heeft.

Literatuur

• (de) E Artin. Galoistheorie, 1944. (en) heruitgegeven Galois theory, ISBN 0-486-62342-4
• (de) J Bewersdorff. Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie, 2004.
• (en) H Edwards. Galois Theory, 1984. ISBN 0-387-90980-X, Springer, oorspronkelijke artikel van Galois met achtergronden en commentaar
• (en) HG Funkhouser voor de American Mathematical Monthly. A short account of the history of symmetric functions of roots of equations, 1930. 7, blz. 357–365
• Jacobson, Nathan (1985). Basic Algebra I, 2nd. W.H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1480-9. (Hoofdstuk 4 geeft een inleiding op de lichaamstheoretische benadering van galoistheorie.)
• Janelidze, G., Borceux, Francis (2001). Galois theories. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80309-0. (Dit boek introduceert de lezer in de galoistheorie van Grothendieck en geeft een aantal generalisaties.)
• Lang, Serge (1994). Algebraic Number Theory, Second. Springer-Verlag, Berlin, New York. DOI:10.1007/978-1-4612-0853-2. ISBN 978-0-387-94225-4.
• Postnikov, Mikhail Mikhaĭlovich (2004). Foundations of Galois Theory, Met een voorwoord van P. J. Hilton. Herdruk van de uitgave uit 1962. Vertaald uit het Russische origineel van 1960 door Ann Swinfen. Dover Publications. ISBN 0-486-43518-0.
• Rotman, Joseph (1998). Galois Theory, Second. Springer. DOI:10.1007/978-1-4612-0617-0. ISBN 0-387-98541-7.
• Völklein, Helmut (1996). Groups as Galois groups: an introduction. Cambridge University Press. DOI:10.1017/CBO9780511471117. ISBN 978-0-521-56280-5.
• (de) van der Waerden, Bartel Leendert (1931). Moderne Algebra. Springer, Berlin.. Engelse vertaling vande 2e herziene druk.:Modern algebra. Frederick Ungar, New York (1949). (Later heruitgegeven in het Engels bij Springer onder de titel "Algebra".)
• (en) F Pop. (Some) New Trends in Galois Theory and Arithmetic, 2001.

Bronvermelding

• Dit artikel of een eerdere versie ervan is een (gedeeltelijke) vertaling van het artikel Galois extension op de Engelstalige Wikipedia, dat onder de licentie Creative Commons Naamsvermelding/Gelijk delen valt. Zie de bewerkingsgeschiedenis aldaar.