Gelijkheidsaxioma

In de verzamelingenleer stelt het gelijkheidsaxioma, of de grondstelling van extensionaliteit, dat twee verzamelingen gelijk zijn als ze precies dezelfde elementen hebben.

Formele verklaring

In de taal van de predicatenlogica, waarin de symbolen ${\displaystyle \in }$, de existentiële kwantor ${\displaystyle \exists }$, de universele kwantor ${\displaystyle \forall }$, en de logische symbolen ${\displaystyle \lor ,\land ,\neg }$ worden gebruikt, kan het gelijkheidsaxioma als volgt geformuleerd worden:

${\displaystyle \forall x\forall y\,(x=y\Longleftrightarrow \forall z\,(z\in x\Longleftrightarrow z\in y))}$

In woorden: twee verzamelingen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ zijn gelijk aan elkaar, dan en slechts dan, als elk element van ${\displaystyle x}$ ook een element is van ${\displaystyle y}$ en omgekeerd elk element van ${\displaystyle y}$ ook een element is van ${\displaystyle x}$.