Gell-Mann-matrices

De Gell-Mann-matrices zijn acht lineair onafhankelijke hermitische 3×3-matrices met spoor 0 die een mogelijke representatie van de infinitesimale generatoren van de speciale unitaire groep ${\displaystyle \mathrm {SU} (3)}$ vormen. Zij zijn genoemd naar de Amerikaanse natuurkundige Murray Gell-Mann en worden gebruikt in de studie van de sterke wisselwerking in de deeltjesfysica en het quarkmodel en, in mindere mate, in de kwantumchromodynamica.

Definitie

De Gell-Mann-matrices ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{8}}$ zijn de acht 3×3-matrices:

${\displaystyle \lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}}$

Deze matrices hebben een spoor gelijk aan 0 en zijn hermitisch en onderling orthogonaal met betrekking tot het (gewone) frobenius-inproduct:

${\displaystyle \langle \lambda _{i},\lambda _{j}\rangle _{F}=\sum _{p.q}{\bar {\lambda }}_{ipq}\lambda _{jpq}=\operatorname {sp} (\lambda _{i}\lambda _{j})=2\delta _{ij}}$

Deze eigenschappen werden gekozen door Gell-Mann, omdat zij dan de eigenschappen van de pauli-matrices generaliseren.

De groep ${\displaystyle \mathrm {SU} (3)}$ is een reële lie-algebra van dimensie acht, en de Gell-Mann-matrices vormen een representatie daarvan en zijn lineair onafhankelijke generatoren, die voldoen aan de commutatierelaties

${\displaystyle [\lambda _{p},\lambda _{q}]=2i\sum _{k}f^{pqk}\lambda _{k}}$

De structuurconstanten ${\displaystyle f^{ijk}}$ zijn volledig antisymmetrisch in de drie indices en hebben dus als gevolg van de jacobi-identiteit de waarde 0, tenzij er een oneven aantal indices uit de getallen 2, 5 en 7 komt. In die gevallen zijn de waarden:

${\displaystyle f^{123}=1}$

${\displaystyle f^{147}=f^{165}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=f^{376}={\tfrac {1}{2}}}$

${\displaystyle f^{458}=f^{678}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$

In deze voorstelling vormen de lineaire combinaties (met reële coëfficiënten) van de twee matrices ${\displaystyle \lambda _{3}}$ en ${\displaystyle \lambda _{8}}$, die met elkaar commuteren, de cartan-deelalgebra. Er zijn 3 onafhankelijke ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ deelgroepen: ${\displaystyle \{\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\},\,\{\lambda _{4},\lambda _{5},x\}}$ en ${\displaystyle \{\lambda _{6},\lambda _{7},y\}}$, waarin ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ lineaire combinaties van ${\displaystyle \lambda _{3}}$ en ${\displaystyle \lambda _{8}}$ zijn.

Zie ook

• Unitaire groepen
• kleurlading en Kwantumchromodynamica

Referenties

• (en) Lie algebra's in particle physics, door Howard Georgi (ISBN 0-7382-0233-9)