Groep (wiskunde)

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een groep een algebraïsche structuur die bestaat uit een verzameling ${\displaystyle G}$ en een binaire operatie, de groepsbewerking, die aan twee elementen van ${\displaystyle G}$ weer een element van ${\displaystyle G}$ toevoegt. De verzameling ${\displaystyle G}$ en de groepsbewerking moeten voldoen aan enkele voorwaarden, de groepsaxioma's. Er zijn er vier: de groepsbewerking is gesloten en associatief, er is in de groep een neutraal element voor de groepsbewerking, de identiteit, en ieder element in de groep heeft een invers element. Een voorbeeld van een groep vormen de gehele getallen met optellen als operatie.

De mogelijke manipulaties van de Rubiks kubus vormen een groep.

De axioma's gelden voor alle groepen, maar groepen onderling kunnen heel verschillend zijn. Zij vormen het onderwerp van de groepentheorie. Met groepen kunnen de structurele aspecten van objecten van uiteenlopende oorsprong op uniforme wijze worden bestudeerd. De alomtegenwoordigheid van de groepen op tal van gebieden, zowel binnen als buiten de wiskunde, maakt van groepen een centraal ordenend principe binnen de hedendaagse wiskunde.^[1][2]

Groepen delen een fundamentele verwantschap met het begrip symmetrie. Een symmetriegroep beschrijft symmetrie-eigenschappen van een meetkundig object, dus bestaat uit de verzameling van transformaties die het object ongewijzigd laten met daarbij als operatie het na elkaar uitvoeren van twee van zulke transformaties. Zulke symmetriegroepen, in het bijzonder de continue lie-groepen, spelen een belangrijke rol in tal van academische disciplines. Matrixgroepen worden bijvoorbeeld gebruikt om symmetrieën in de moleculaire scheikunde en symmetrie in de natuurkunde, zoals de natuurwetten die ten grondslag liggen aan de speciale relativiteitstheorie, te begrijpen.

De studie van vergelijkingen heeft aan de basis van de groepentheorie gestaan. Évariste Galois was in de jaren 1830 een van de wiskundigen die hieraan rekenden. De theorie die het verband legt tussen polynomen en groepen, is naar hem genoemd. Na bijdragen vanuit andere gebieden, zoals de getaltheorie en de meetkunde, kreeg het begrip groep in de wiskunde zijn algemene vorm, en kreeg de groepentheorie rond 1870 een stevige basis. Om groepen te onderzoeken hebben wiskundigen verschillende begrippen gedefinieerd die het mogelijk maken om groepen op te breken in kleinere, beter begrijpelijke stukken, zoals ondergroepen, factorgroepen en enkelvoudige groepen. Naast de abstracte eigenschappen van groepen bestuderen groepstheoretici ook de verschillende manieren waarop een groep concreet kan worden uitgedrukt, haar groepsrepresentatie, zowel vanuit een theoretisch als een computationeel standpunt. Er heeft zich een bijzondere rijke theorie van de eindige groepen ontwikkeld, die culmineerde in de classificatie van eindige enkelvoudige groepen, die werd voltooid in 1983. Sinds het midden van de jaren 1980 is de meetkundige groepentheorie, die eindig gegenereerde groepen als meetkundige objecten bestudeert, uitgegroeid tot een bijzonder actief onderzoeksgebied binnen de groepentheorie.

Algebraïsche structuur
Groep · Halfgroep · Ideaal · Lichaam/veld · Magma · Monoïde · Ring Algebra · Moduul · Vectorruimte Boolealgebra · Categorie · Tralie

Zie Geschiedenis van de groepentheorie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Het moderne concept van een abstracte groep ontwikkelde zich uit verschillende deelgebieden van de wiskunde^[3][4][5]. De oorspronkelijke motivatie voor de groepentheorie was de zoektocht naar oplossingen van polynomiale vergelijkingen van graad 5 en hoger. De 19e-eeuwse Franse wiskundige Évariste Galois, die voortbouwde op eerder werk van Paolo Ruffini en Joseph-Louis Lagrange, gaf een criterium voor de oplosbaarheid van bepaalde veeltermvergelijkingen in termen van symmetriegroepen van zijn wortels (oplossingen). De elementen van een dergelijke Galoisgroep komen overeen met bepaalde permutaties van de wortels. Aanvankelijk werden Galois zijn ideeën verworpen door zijn tijdgenoten en zijn werken werden pas voor het eerst ruim vijftien jaar na zijn vroege dood gepubliceerd^[6][7]. Meer algemene permutatiegroepen werden met name onderzocht door Augustin Louis Cauchy. Arthur Cayleys On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θⁿ = 1 (Over de groepentheorie, afhankelijk van de symbolische vergelijking θⁿ = 1) (1854) geeft de eerste abstracte definitie van een eindige groep^[8].

De meetkunde was een tweede terrein, waarop systematisch groepen werden gebruikt, vooral symmetriegroepen, als onderdeel van Felix Kleins Erlanger Programm uit 1872^[9]. Nadat "nieuwe meetkunden", zoals de hyperbolische- en de projectieve meetkunde waren ontstaan, gebruikte Klein de groepentheorie om deze "nieuwe meetkunden" op een meer coherente manier te organiseren. Deze ideeën verder bevorderend, legde Sophus Lie in 1884 het fundament voor de studie van de naar hem genoemde Lie-groepen^[10]

Het derde veld dat bijdroeg aan de groepentheorie was de getaltheorie. Van bepaalde abelse groep structuren werd reeds impliciet gebruikgemaakt in Carl Friedrich Gauss' Disquisitiones Arithmeticae uit 1798 en meer expliciet door Leopold Kronecker^[11]. In 1847 leidde Ernst Kummer vroege pogingen om de laatste stelling van Fermat te bewijzen naar een climax door de ontwikkeling van groepen die factorisatie in priemgetallen beschreven.^[12]

De convergentie van deze verschillende bronnen in een uniforme groepentheorie begon in 1870 met Camille Jordans Traité des substitutions et des équations algébriques^[13]. Walther von Dyck (1882) stelde als eerste een moderne definitie van een abstracte groep^[14] op. Vanaf het begin van de 20e eeuw, verkregen groepen een brede erkenning door het baanbrekende werk van Ferdinand Georg Frobenius en William Burnside, die werkte op het gebied van de representatietheorie van eindige groepen, Richard Brauers modulaire representatietheorie en de artikelen van Issai Schur^[15] De theorie van de Lie-groepen, en meer in het algemeen de lokaal compacte groepen werd gepropageerd door Hermann Weyl, Élie Cartan en vele anderen^[16]. Haar algebraïsche tegenhanger, de theorie van de algebraïsche groepen, werd vanaf de late jaren dertig voor het eerst door Claude Chevalley vormgegeven en later voortgezet met belangrijk werk van Armand Borel en Jacques Tits^[17].

Het door de Universiteit van Chicago in het academisch jaar 1960-61 georganiseerde "Groepentheoriejaar" bracht een aantal vooraanstaande groepentheoretici, zoals Daniel Gorenstein, John Griggs Thompson en Walter Feit bij elkaar. Hierdoor werd het fundament van een samenwerking gelegd die, met inbreng van vele andere wiskundigen, in 1982 tot de classificatie van alle eindige enkelvoudige groepen zou leiden. Dit project overtrof alle vorige wiskundige inspanningen door zijn enorme omvang, zowel wat betreft de lengte van het bewijs als door het aantal onderzoekers. Er is nog steeds onderzoek gaande om het bewijs van deze classificatie te vereenvoudigen^[18]. Deze dagen is de groepentheorie nog steeds een zeer actief deelgebied van de wiskunde met een cruciale invloed op vele andere takken van de wiskunde.

Een groep ${\displaystyle (G,*)}$ wordt gevormd door een niet-lege verzameling ${\displaystyle G}$ met een associatieve binaire operatie ${\displaystyle *:G\times G\to G}$, een voor de bewerking neutraal element ${\displaystyle e}$ en bij elk element ${\displaystyle a\in G}$ een voor de bewerking invers element ${\displaystyle a^{-1}}$.

Uitgebreider geformuleerd:

Een groep is een verzameling ${\displaystyle G}$, samen met een operatie ${\displaystyle *}$ die aan elke twee elementen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ een element ${\displaystyle a*b\in G}$ toevoegt. Het is gebruikelijk ${\displaystyle *(a,b)}$ te noteren als ${\displaystyle a*b}$. Het symbool ${\displaystyle *}$ is een algemene plaatshouder voor een concreet gegeven operatie, zoals de optelling hierboven. De verzameling en de operatie moeten voldoen aan vier eisen die samen bekendstaan als de groepsaxioma's:^[19]

1. De groep is gesloten met betrekking tot de groepsbewerking: Voor alle ${\displaystyle a,b\in G}$ is het resultaat ${\displaystyle a*b}$ van de groepsoperatie ook in ${\displaystyle G}$.
2. De groepsbewerking is associatief: Voor alle ${\displaystyle a,b,c\in G}$ geldt de relatie: ${\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)}$.
3. Er is een identiteitselement voor de groepsbewerking: Er bestaat een element ${\displaystyle e\in G}$, zodat voor alle elementen ${\displaystyle a\in G}$ geldt dat ${\displaystyle e*a=a*e=a}$
4. Bij ieder element is er een invers element: Voor elke ${\displaystyle a\in G}$ bestaat er een element ${\displaystyle a^{-1}\in G}$, waarvoor geldt: ${\displaystyle a*a^{-1}=a^{-1}*a=e}$.

Merk op dat een groep niet noodzakelijk commutatief hoeft te zijn. Het is niet noodzakelijk dat voor alle ${\displaystyle a,b\in G}$ geldt dat ${\displaystyle a*b=b*a}$. Als dit wel het geval is spreekt men van een commutatieve of abelse groep, genoemd naar de wiskundige Niels Abel.

Verder wordt er onderscheid gemaakt tussen eindige en oneindige groepen.

• De gehele getallen met de optelling, genoteerd als ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$, is een abelse groep.
• De rationale getallen zonder de nul met de vermenigvuldiging (${\displaystyle \mathbb {Q} \setminus \{0\}}$, · ) is een abelse groep.
• De natuurlijke getallen met de optelling ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ is geen groep, want bijvoorbeeld 2 heeft geen inverse, omdat er geen natuurlijk getal is dat opgeteld bij 2 als resultaat 0 oplevert.
• Permutatiegroepen en matrixgroepen
• De mogelijke manipulaties van de Rubiks kubus vormen een groep.
• Bepaalde draaiingen en translaties vormen een groep, die toepassing vindt in de leer van de symmetrie, bijvoorbeeld translatiesymmetrie. Continue symmetrieën, zoals rotatiesymmetrie, worden door lie-groepen gemodelleerd.

Voorbeeld 1, gehele getallen

Een van de bekendste groepen is de verzameling van gehele getallen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, die bestaat uit de getallen

${\displaystyle \ldots ,-4,-3,-2,-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ldots }$^[20]

De optelling van de gehele getallen heeft de volgende eigenschappen, die dienen als een model voor de abstracte groepsaxioma's die in de onderstaande definitie worden gegeven.

1. Voor elke twee gehele getallen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ is de som ${\displaystyle a+b}$ ook een geheel getal. Met andere woorden, het proces van het bij elkaar optellen van twee gehele getallen heeft als resultaat weer een geheel getal. De gehele getallen zijn gesloten onder de operatie optellen.
2. Voor alle gehele getallen ${\displaystyle a,b}$ en ${\displaystyle c}$ is ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$. Eerst ${\displaystyle a}$ bij ${\displaystyle b}$ optellen en dan het resultaat hiervan bij ${\displaystyle c}$ optellen, geeft hetzelfde eindresultaat als het optellen van ${\displaystyle a}$ bij de som van ${\displaystyle b}$ en ${\displaystyle c}$. Optellen is een associatieve bewerking.
3. Voor elk geheel getal ${\displaystyle a}$ is ${\displaystyle 0+a=a+0=a}$. Het getal nul gedraagt zich neutraal ten opzichte van de optelling. Het wordt het neutrale element van de operatie optelling genoemd, of algemeen het identiteitselement, omdat het optellen van nul bij een willekeurig geheel getal ditzelfde gehele getal als resultaat oplevert.
4. Voor elk geheel getal ${\displaystyle a}$ is er een geheel getal ${\displaystyle b}$, zodanig dat ${\displaystyle a+b=b+a=0}$. Het gehele getal ${\displaystyle b}$ wordt het inverse element van het gehele getal ${\displaystyle a}$ genoemd en gewoonlijk aangeduid door ${\displaystyle -a}$, door min a.

Voorbeeld 2, permutatiegroepen

De groep van alle permutaties van een rij van ${\displaystyle n}$ elementen heet de symmetrische groep ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$. De naam van deze groep is niet aan de symmetrie in de groep ontleend.

Voorbeeld 3, dihedrale groep

De symmetrieën, dat wil zeggen rotaties en spiegelingen, van een vierkant vormen een groep die de dihedrale groep ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ wordt genoemd.^[21] De dihedrale groep kent de onderstaande acht symmetrieën:

${\displaystyle \mathrm {id} }$ (onveranderd)	${\displaystyle r_{1}}$ (rotatie van 90° met de klok mee)	${\displaystyle r_{2}}$ (rotatie van 180° met de klok mee)	${\displaystyle r_{3}}$ (rotatie van 270° met de klok mee)
${\displaystyle f_{v}}$ (verticale flip)	${\displaystyle f_{h}}$(horizontale flip)	${\displaystyle f_{d}}$ (diagonale flip)	${\displaystyle f_{c}}$ (tegen-diagonale flip)
De elementen van de symmetriegroep van het vierkant (${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$). De hoekpunten zijn alleen gekleurd en genummerd om de operaties te visualiseren.

* de identieke afbeelding, die alles onveranderd laat, aangeduid door id;

* rotaties van het vierkant 90° right, 180° right en 270° met de klok mee, aangeduid door respectievelijk ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ en ${\displaystyle r_{3}}$;

* spiegelingen over de verticale en horizontale middellijn (${\displaystyle f_{h}}$ en ${\displaystyle f_{v}}$) of door de twee diagonalen (${\displaystyle f_{d}}$ en ${\displaystyle f_{c}}$).

Elke twee symmetrieën ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ kunnen worden samengesteld, dat wil zeggen, de een na de ander toegepast. Het resultaat van eerst ${\displaystyle a}$ uitvoeren en dan ${\displaystyle b}$ wordt symbolisch van rechts naar links geschreven als ${\displaystyle b\circ a}$ ("pas de symmetrie ${\displaystyle b}$ toe, na eerst de symmetrie ${\displaystyle a}$ uitgevoerd te hebben". De van "rechts-naar-links" notatie komt voort uit de samenstelling van functies). De groepstabel aan de rechterkant geeft de resultaten van alle mogelijke samenstelling van symmetrieën. De 270° rotatie met de klok mee (${\displaystyle r_{3}}$) en vervolgens horizontaal omkeren (${\displaystyle f_{h}}$) is hetzelfde als het uitvoeren van een spiegeling over de diagonaal (${\displaystyle f_{d}}$). Door gebruik te maken van de bovengenoemde symbolen, die in het blauw in de groepstabel zijn weergegeven:

${\displaystyle f_{d}=f_{h}\circ r_{3}}$

Groepstabel van ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$

•	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle f_{v}}$	${\displaystyle f_{h}}$	${\displaystyle f_{d}}$	${\displaystyle f_{c}}$
${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle f_{v}}$	${\displaystyle f_{h}}$	${\displaystyle f_{d}}$	${\displaystyle f_{c}}$
${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle f_{c}}$	${\displaystyle f_{d}}$	${\displaystyle f_{v}}$	${\displaystyle f_{h}}$
${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle f_{h}}$	${\displaystyle f_{v}}$	${\displaystyle f_{c}}$	${\displaystyle f_{d}}$
${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle f_{d}}$	${\displaystyle f_{c}}$	${\displaystyle f_{h}}$	${\displaystyle f_{v}}$
${\displaystyle f_{v}}$	${\displaystyle f_{v}}$	${\displaystyle f_{d}}$	${\displaystyle f_{h}}$	${\displaystyle f_{c}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{3}}$
${\displaystyle f_{h}}$	${\displaystyle f_{h}}$	${\displaystyle f_{c}}$	${\displaystyle f_{v}}$	${\displaystyle f_{d}}$	${\displaystyle r_{2}}$	id	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{1}}$
${\displaystyle f_{d}}$	${\displaystyle f_{d}}$	${\displaystyle f_{h}}$	${\displaystyle f_{c}}$	${\displaystyle f_{v}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{2}}$
${\displaystyle f_{c}}$	${\displaystyle f_{c}}$	${\displaystyle f_{v}}$	${\displaystyle f_{d}}$	${\displaystyle f_{h}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$
De elementen ${\displaystyle \mathrm {id} ,r_{1},r_{2}}$ en ${\displaystyle r_{3}}$ vormen een ondergroep, die in het roze (bovenkant links) is aangegeven. Een linker en rechter nevenklasse van deze ondergroep is respectievelijk in het groen (in de laatste rij) en in het geel (de laatste kolom) aangegeven.

Gezien deze verzameling van symmetrieën en de beschreven operatie, kunnen de groepsaxioma's als volgt worden opgevat:

1. Het axioma van geslotenheid vraagt dat de compositie ${\displaystyle b\circ a}$ van twee symmetrieën ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ ook een symmetrie is. Een ander voorbeeld voor de groepsoperatie is

   ${\displaystyle r_{3}\circ f_{c}=f_{v}}$,

   dat wil zeggen een rotatie van 270° met de klok mee na het vierkant eerst diagonaal geflipt te hebben over de tegendiagonaal (${\displaystyle f_{c}}$). Inderdaad geeft elke andere combinatie van twee symmetrieën opnieuw een symmetrie. Hier kan men zich zelf van overtuigen door dit voor elke samenstelling te controleren in de groepstabel.

2. De associativiteitsrestrictie heeft betrekking op het samenstellen van meer dan twee symmetrieën: gegeven drie elementen ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ en ${\displaystyle c}$ van ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$, zijn er twee mogelijke manieren om "${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ dan ${\displaystyle c}$" te berekenen. Het vereiste dat

   ${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}$

   betekent dat de samenstelling van de drie elementen onafhankelijk is van de prioriteit van de operaties, dat wil zeggen het samenstellen van eerst ${\displaystyle c}$ uitvoeren en vervolgens ${\displaystyle a}$ na ${\displaystyle b}$ op het resultaat van ${\displaystyle c}$, op hetzelfde neerkomt als ${\displaystyle a}$ uitvoeren na de compositie van ${\displaystyle b}$ en ${\displaystyle c}$. Men kan bijvoorbeeld controleren dat ${\displaystyle (f_{d}\circ f_{v})\circ r_{2}=f_{d}\circ (f_{v}\circ r_{2})}$ door gebruik te maken van de groepstabel aan de rechterkant

   ${\displaystyle (f_{d}\circ f_{v})\circ r_{2}=r_{3}\circ r_{2}=r_{1}}$, wat gelijk is aan

   ${\displaystyle f_{d}\circ (f_{v}\circ r_{2})=f_{d}\circ f_{h}=r_{1}}$

3. Het identiteitselement is de symmetrie ${\displaystyle \mathrm {id} }$, die alles ongewijzigd laat: voor elke symmetrie ${\displaystyle a}$ is ${\displaystyle \mathrm {id} }$ uitvoeren na ${\displaystyle a}$, of ${\displaystyle a}$ na ${\displaystyle \mathrm {id} }$, gelijk aan alleen ${\displaystyle a}$ uitvoeren. In symbolische vorm,

   ${\displaystyle \mathrm {id} \circ a=a}$,

   ${\displaystyle a\circ \mathrm {id} =a}$

4. De inverse van een element maakt de transformatie van dat element ongedaan. Elke symmetrie kan ongedaan worden gemaakt. De identiteit ${\displaystyle \mathrm {id} }$, de flips ${\displaystyle f_{h},f_{v},f_{d},f_{c}}$ en de rotatie over 180° ${\displaystyle r_{2}}$ zijn hun eigen inverse, omdat deze operaties twee keer achter elkaar uitvoeren het vierkant teruggeeft met de originele oriëntatie. De rotaties ${\displaystyle r_{3}}$ en ${\displaystyle r_{1}}$ zijn elkaars inverse, omdat rotatie over een bepaalde hoek, en vervolgens over dezelfde hoek de andere kant op roteren, het vierkant ongewijzigd laat. In symbolen,

   ${\displaystyle f_{h}\circ f_{h}=\mathrm {id} }$

   ${\displaystyle f_{v}\circ f_{v}=\mathrm {id} }$

   ${\displaystyle f_{c}\circ f_{c}=\mathrm {id} }$

   ${\displaystyle f_{d}\circ f_{d}=\mathrm {id} }$

   ${\displaystyle r_{2}\circ r_{2}=\mathrm {id} }$

   ${\displaystyle r_{3}\circ r_{1}=r_{1}\circ r_{3}=\mathrm {id} }$

In contrast met de groep van de gehele getallen zoals hierboven besproken, waar de volgorde van de operatie niet relevant is, is dit in D₄ wel van belang, bijvoorbeeld:

${\displaystyle f_{h}\circ r_{1}=f_{c}}$,

maar

${\displaystyle r_{1}\circ f_{h}=f_{d}}$