Homeomorfisme

Niet te verwarren met homomorfisme, een begrip uit de abstracte algebra

In de wiskunde, meer in het bijzonder in de topologie, is een homeomorfisme (Oudgrieks: ὅμοιος (homoios), gelijk, en μορφή (morphē), vorm) een bijectieve afbeelding tussen twee topologische ruimten die in beide richtingen continu is.

Deze kop en ring zijn homeomorf. Deze animatie laat ze in elkaar overgaan zonder de homeomorfie te verbreken

Als tussen twee topologische ruimten een homeomorfisme bestaat, worden ze als topologisch gelijkwaardig beschouwd. Topologisch invariante eigenschappen zijn eigenschappen van topologische ruimten die behouden blijven onder homeomorfismen. Voorbeelden zijn: samenhang, wegsamenhang, compactheid en de fundamentaalgroep van een ruimte. De algebraïsche topologie is de tak van de wiskunde die tracht topologische ruimten te karakteriseren aan de hand van hun topologische invarianten.

Ruwweg gesproken is een topologische ruimte een meetkundig object en is een homeomorfisme het continue strekken, buigen, rekken en plooien van dit object in een nieuwe vorm. Zo zijn een vierkant en een cirkel homeomorf ten opzichte van elkaar omdat deze twee vormen in elkaar kunnen overgaan. Voor een bol en een torus geldt dit niet. Deze vormen zijn niet homeomorf ten opzichte van elkaar, omdat in een torus in tegenstelling tot een bol een gat zit. Een vaak herhaalde grap is dat topologen het koffiekopje waaruit zij drinken niet zouden kunnen onderscheiden van de donut die zij bij de koffie eten, omdat beide vormen topologisch in elkaar over kunnen gaan (zie ook de animatie hiernaast).

Bij een object in de driedimensionale ruimte moet onderscheid worden gemaakt tussen een oppervlak en een plaat met dikte. Een cilinderoppervlak is bijvoorbeeld niet homeomorf met een stuk buis met een wand die een dikte groter dan nul heeft.

Definitie

Een functie ${\displaystyle f}$ tussen twee topologische ruimten ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle Y}$ wordt homeomorf genoemd als de functie de onderstaande eigenschappen heeft:

• ${\displaystyle f}$ is een bijectie (injectief en surjectief),
• ${\displaystyle f}$ is continu,
• De inverse functie ${\displaystyle f^{-1}}$ is continu (${\displaystyle f}$ is een open afbeelding).

Een functie met deze drie eigenschappen wordt soms bicontinu genoemd. Als zo'n functie bestaat zeggen we dat ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle Y}$ homeomorf zijn. Een zelf-homeomorfisme is een homeomorfisme van een topologische ruimte op zichzelf. De homeomorfismen vormen een equivalentierelatie op de klasse van alle topologische ruimtes. De resulterende equivalentieklassen worden homeomorfe klassen genoemd.

Voorbeelden

Een klaverbladknoop is homeomorf tot een cirkel. Hoewel dit misschien onlogisch lijkt kunnen ze in vier dimensies gemakkelijk continu worden vervormd. In het plaatje is de klaverbladknoop verdikt om de afbeelding begrijpelijker te maken.

• De eenheids 2-bal ${\displaystyle D^{2}}$ en het inwendige van het eenheidsvierkant in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ zijn homeomorf. Dit geldt dus ook voor de randen van beide; meer algemeen: elke cirkel is homeomorf met de rand van elk vierkant.

• Het open interval ${\displaystyle (-1,1)}$ is homeomorf met de reële getallen ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

• De productruimte ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$ en de twee-dimensionale torus zijn homeomorf.

• Elk uniform isomorfisme en isometrisch isomorfisme is een homeomorfisme.

• Enige 2-bol met een enkel punt verwijderd is homeomorf met de verzameling van alle punten in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (een 2-dimensionaal vlak).

• Laat ${\displaystyle A}$ een commutatieve ring zijn met eenheid en laat ${\displaystyle S}$ een mutiplicative deelverzameling van ${\displaystyle A}$ zijn. Dan is ${\displaystyle \mathrm {Spec} (A_{S})}$ homeomorf met ${\displaystyle \{p\in \mathrm {Spec} A:p\cap S=\emptyset \}}$

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ zijn niet homeomorf voor ${\displaystyle n\neq m}$

• Een voorbeeld van een continue bijectie, die geen homeomorfisme is, is de afbeelding die het half-open interval ${\displaystyle [0,1)}$ neemt en deze rond de cirkel wikkelt. In dit geval is de inverse - hoewel deze wel bestaat - niet continu. In verband hiermee kan een interval open zijn in de relatieve topologie van het half-open interval, terwijl de corresponderende verzameling op de cirkel een half-open interval is.