Infimum

In de ordetheorie, een deelgebied van de wiskunde, is het infimum (meervoud infima) van een deelverzameling van enige partieel geordende verzameling het grootste element (niet noodzakelijkerwijs in de deelverzameling) dat kleiner is dan of gelijk is aan alle elementen in deze deelverzameling. Bijgevolg wordt de term grootste ondergrens (ook wel afgekort als gog of GOG) vaak gebruikt. Infima van reële getallen zijn een veelvoorkomend speciaal geval die vooral belangrijk zijn in de analyse.

Een verzameling ${\displaystyle T}$ van de reële getallen (hier weergegeven als witte en groene ballen), een deelverzameling ${\displaystyle S}$ van ${\displaystyle T}$ (weer-gegeven als groene ballen) en het infimum, het grootste getal in ${\displaystyle T}$ dat kleiner is dan of gelijk is aan alle getallen in ${\displaystyle S.}$ Merk op dat voor eindige verzamelingen het infimum en het minimum aan elkaar gelijk zijn.

Het infimum heeft als duaal begrip het supremum.

Infima van de reële getallen

In de analyse wordt het infimum of de grootste ondergrens van een deelverzameling ${\displaystyle S}$ van de reële getallen aangeduid door ${\displaystyle \inf(S)}$ en wordt dit infimum gedefinieerd als het grootste reëel getal dat kleiner is dan of gelijk is aan elk getal in ${\displaystyle S.}$ Als er niet zo'n getal bestaat (omdat ${\displaystyle S}$ van onderen niet begrensd is), dan definieert men ${\displaystyle \inf(S)=-\infty .}$ Als ${\displaystyle S}$ de lege verzameling is, definieert men ${\displaystyle \inf(S)=+\infty .}$

Een belangrijke eigenschap van de reële getallen is dat elke verzameling van reële getallen een infimum heeft (elke niet-lege begrensde deelverzameling van de reële getallen heeft een infimum in de niet-uitgebreide reële getallen).

Voorbeelden:

${\displaystyle \inf\{1,2,3\}=1.}$

${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=0.}$

${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {Q} :x^{3}>2\}={\sqrt[{3}]{2}}.}$

${\displaystyle \inf\{(-1)^{n}+1/n:n=1,2,3,\dots \}=-1.}$

Als een verzameling een kleinste element heeft, zoals in het eerste voorbeeld, dan is het kleinste element het infimum voor de verzameling. (Als het infimum deel uitmaakt van de verzameling, dan staat het ook bekend als het minimum). Zoals de laatste drie voorbeelden laten zien, hoeft het infimum van een verzameling niet tot de verzameling te behoren.

Externe link

• (en) Infimum (PlanetMath)