Loading AI tools
Van Wikipedia, de vrije encyclopedie
De kleine stelling van Fermat zegt dat voor ieder priemgetal en ieder geheel getal geldt:
De stelling is genoemd naar Pierre de Fermat (1601 of 1606/7 - 1665).
Als en onderling ondeelbaar zijn is de stelling equivalent met de uitspraak:
Als een veelvoud van is, geldt:
De stelling wordt bijvoorbeeld gebruikt om bij modulair rekenen de restklasse van een groot getal uit te rekenen en is in 1736 door Leonhard Euler bewezen.
Laat zijn en een priemgetal.
Het bewijs van de kleine stelling maakt gebruik van een hulpstelling over modulair rekenen:
Voor geldt:
dus ook
Bewijs voor de kleine stelling:
Zij een priemgetal en . Er zijn twee mogelijkheden:
Het omgekeerde van de kleine stelling van Fermat is niet algemeen geldig. Als voor zekere gehele en geldt dat
dan is niet noodzakelijk een priemgetal.
Een getal dat geen priemgetal is, maar waarvoor geldt dat
voor zekere wordt een pseudopriemgetal genoemd. Als de eigenschap heeft dat het bovengenoemde geldt voor elke , dan heet een carmichael-getal. Hierbij is de naam fermattest bedacht: als een getal voldoet aan
voor zekere dan is een priemgetal of een pseudo-priemgetal.
Er is bewezen dat er oneindig veel pseudo-priemgetallen bestaan, maar binnen de gehele getallen zijn de pseudo-priemgetallen wel 'dunner gezaaid' dan de priemgetallen.
De kleine stelling van Fermat mag niet worden verward met de laatste stelling van Fermat, die zegt dat de vergelijking geen geheeltallige oplossing heeft verschillend van 0 voor alle gehele waarden van groter dan 2. De stelling werd in november 1994 bewezen door de Britse wiskundige Andrew Wiles.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.