Lineaire combinatie

In de lineaire algebra is een lineaire combinatie van eindig veel vectoren uit een vectorruimte over een lichaam (Ned) / veld (Be), een som van veelvouden van deze vectoren.

${\displaystyle \mathbf {v} }$ is de lineaire combinatie van de vectoren ${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$ en ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$: ${\displaystyle \mathbf {v} =2\cdot \mathbf {u} _{1}+1.5\cdot \mathbf {u} _{2}}$

Veronderstel dat ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\dots ,\mathbf {u} _{n}}$ vectoren zijn in de vectorruimte ${\displaystyle V}$ over het lichaam / veld ${\displaystyle K}$. De vector ${\displaystyle \mathbf {w} }$ is een lineaire combinatie van deze ${\displaystyle n}$ vectoren als:

${\displaystyle \mathbf {w} =a_{1}\mathbf {u} _{1}+a_{2}\mathbf {u} _{2}+\dots +a_{n}\mathbf {u} _{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {u} _{i}\quad }$ met ${\displaystyle \quad a_{i}\in K}$.

Alle vectoren in de lineaire deelruimte die door de vectoren ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\dots ,\mathbf {u} _{n}}$ wordt opgespannen zijn vanzelf een lineaire combinaties van deze ${\displaystyle n}$ vectoren.

Voorbeelden

Laat het lichaam / veld ${\displaystyle K}$ de reële getallen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ zijn en laat ${\displaystyle V}$ de euclidische ruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ zijn. Beschouw de vectoren

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(1,0,0),\mathbf {e} _{2}=(0,1,0)}$ en ${\displaystyle \mathbf {e} _{3}=(0,0,1)}$.

Dan is iedere vector in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ een lineaire combinatie van ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}}$ en ${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$.

Neem om dit in te zien als voorbeeld de vector ${\displaystyle \mathbf {a} =(1,2,3)\in \mathbb {R} ^{3}}$ en schrijf:

${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})=(a_{1},0,0)+(0,a_{2},0)+(0,0,a_{3})=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1)=a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}}$.

De vector ${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$ is geen lineaire combinatie van ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$ en ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$, omdat er geen getallen ${\displaystyle a_{1}}$ en ${\displaystyle a_{2}}$ zijn waarvoor

${\displaystyle \mathbf {e} _{3}=(0,0,1)=a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)=(a_{1},a_{2},0)}$