Logische conjunctie

In de wiskunde en de logica is logische conjunctie (symbool: ${\displaystyle \land }$, &, &&, EN of AND) een logische operator die twee proposities met elkaar verbindt, zodanig dat de conjunctie van beide waar is als beide operanden waar zijn.

Venndiagram van de conjunctie - rood is waar

Definitie

De conjunctie vormt een samengestelde propositie ${\displaystyle A\land B}$ uit twee proposities ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$. De twee samenstellende proposities worden conjuncten genoemd. Het geheel is dan en slechts dan waar als de beide samenstellende delen waar zijn, wat in de volgende waarheidstabel wordt aangegeven:

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$		${\displaystyle A\land B}$
T	T		T
T	F		F
F	T		F
F	F		F

Intuïtief gezien werkt de logische operator op dezelfde manier als het gewone Nederlandse voegwoord "en". De zin "Het regent en ik ben binnen" verzekert je dat de beide delen tegelijkertijd waar zijn: zowel dat het regent, als dat ik binnen ben. Logisch gezien zou men dit voorstellen door de bewering ${\displaystyle A}$ te gebruiken voor "Het regent", ${\displaystyle B}$ voor "Ik ben binnen", samen dus ${\displaystyle A}$ EN ${\displaystyle AB}$.

Beschouw bijvoorbeeld

${\displaystyle x>13\land x<27}$

Als ${\displaystyle x}$ gelijk is aan 36, dan is ${\displaystyle x>13}$ waar, maar ${\displaystyle x<27}$ is onwaar; de bewering is dus onwaar. Maar als ${\displaystyle x=20}$, zijn beide delen van de bewering waar, en dus is de hele conjunctie waar.

De uitbreiding van de conjunctie voor een (eventueel oneindige) verzameling van beweringen is de universele kwantificatie uit de predicatenlogica.

Als deductieregel is conjunctie een geldige, eenvoudige bewijsvorm:

${\displaystyle A}$

${\displaystyle B}$

${\displaystyle \vdash A\land B}$

Het bewijs heeft twee premissen. De eerste is het linkerlid, de tweede het rechterlid. Uit deze twee premissen kan logisch besloten worden dat ${\displaystyle A\land B}$ eveneens waar moet zijn.

Dit is een voorbeeld van een bewering die de vorm van een conjunctie heeft:

Iedereen zou moeten stemmen.

Democratie is de beste regeringsvorm.

Dus, iedereen zou moeten stemmen en democratie is de beste regeringsvorm.

Associativiteit en commutativiteit

Logische conjunctie is associatief en commutatief. Dat wil zeggen dat ${\displaystyle (A\land B)\land C}$ logisch equivalent is aan ${\displaystyle A\land (B\land C)}$ (associatief), met als gevolg dat de haakjes vaak weggelaten worden, en dat ${\displaystyle A\land B}$ logisch equivalent is aan ${\displaystyle B\land A}$ (commutatief).

Bitsgewijze bewerking

Logische conjunctie wordt vaak gebruikt in bitsgewijze bewerkingen. Voorbeelden:

• 0 en 0 = 0
• 0 en 1 = 0
• 1 en 0 = 0
• 1 en 1 = 1

• 1100 en 1010 = 1000

Merk op dat in computerwetenschappen de operator EN gebruikt kan worden om een bit op 0 te zetten door een EN-bewerking van die bit met 0.

Zie ook

• AND-poort
• Booleaanse algebra
• Exclusieve disjunctie
• Logische disjunctie

Websites

• MathWorld. Conjunction.