Loading AI tools
Van Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de groepentheorie, een onderdeel van de abstracte algebra, is een nevenklasse binnen een groep een deelverzameling of van , die bestaat uit de producten van een element en de elementen van een ondergroep van . De nevenklasse van ten opzichte van heet linkernevenklasse en de nevenklasse rechternevenklasse. De verschillende nevenklassen van zijn onderling disjunct en vormen een partitie van . Het aantal elementen in een nevenklasse of is gelijk aan het aantal elementen van de ondergroep zelf.
Zij een groep, een ondergroep van en een element van .
De linkernevenklasse van ten opzichte van is de verzameling producten van elementen van , links samengesteld met :
De verzameling van alle linkernevenklassen van in noteert men gewoonlijk als .
De rechternevenklasse van ten opzichte van is de verzameling producten van elementen van , rechts samengesteld met :
De verzameling van alle rechternevenklassen van in noteert men gewoonlijk als
Nevenklassen zijn equivalentieklassen. Twee elementen en van de groep zijn equivalent als ze tot dezelfde nevenklasse behoren.
Dit komt erop neer dat er een is zodanig dat:
Alternatief geldt:
De linkernevenklassen zijn dus de equivalentieklassen van deze relatie.
Linker- en rechternevenklassen zijn in een commutatieve groep gelijk, maar kunnen in een groep die niet commutatief is verschillen. De normalisator van in is de verzameling elementen van waarvoor de betrokken linker- en rechternevenklasse identiek zijn.
Als de linker-en rechternevenklassen van een ondergroep identiek zijn voor alle elementen van , heet een normaaldeler van en spreekt men kortweg van nevenklassen. In dat geval kan ook uitgerust worden met een groepsbewerking en wordt de factorgroep van over genoemd.
In een commutatieve groep zijn alle ondergroepen normaaldelers.
Beschouw de veelvouden van 8 als ondergroep van de gehele getallen met de gewone optelling:
De nevenklasse van het getal 35 bestaat uit alle veelvouden van 8, plus 3:
Het is de restklasse van 3 (en van 35) bij deling door 8.
Beschouw de groep van de rotaties van de reële driedimensionale ruimte. Dit is een lie-groep, maar in dit voorbeeld speelt alleen de algebraïsche structuur een rol. Beschouw een orthonormaal coördinatenstelsel en noem de ondergroep van die bestaat uit de rotaties om de -as. Noem de rotatie over een rechte hoek om de -as die de -as op de -as afbeeldt, met behoud van de oriëntatie (de positieve zijde van de -as wordt op de positieve zijde van de -as afgebeeld).
De linkernevenklasse bestaat uit alle rotaties die de -as met behoud van oriëntatie op de -as afbeelden. De rechternevenklasse bestaat uit alle rotaties die de -as met omkering van de oriëntatie op de -as afbeelden. Beide nevenklassen zijn van elkaar verschillend en hebben zelfs maar één element gemeenschappelijk, namelijk zelf.
De ondergroep is geen normaaldeler van . De normalisator van in is zelf.
De samenstelling met een vast element is een permutatie van , dus alle nevenklassen van hebben evenveel elementen als zelf.
Voor eindige groepen geldt de stelling van Lagrange over de orde, het aantal elementen, van een ondergroep:
Dit is altijd, dus wanneer de linker- en rechternevenklassen samenvallen, maar ook wanneer zij verschillend zijn.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.