Nulpunt (functietheorie)

Een nulpunt in de complexe functietheorie is een nulpunt van een holomorfe functie ${\displaystyle f}$, dus gedefinieerd in het complexe vlak ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Het is een complex getal ${\displaystyle a}$, zodanig dat ${\displaystyle f(a)=0}$. De complexe functietheorie is een deelgebied van de wiskunde.

Een complex getal ${\displaystyle a}$ heet een enkelvoudig nulpunt of een nulpunt van multipliciteit 1 van ${\displaystyle f}$, als ${\displaystyle f}$ geschreven kan worden als

${\displaystyle f(z)=(z-a)g(z)}$

waarin ${\displaystyle g}$ een holomorfe functie is, zodanig dat ${\displaystyle g(a)\neq 0}$.

In het algemeen is de multipliciteit van het nulpunt ${\displaystyle a}$ van ${\displaystyle f}$ het positieve geheel getal ${\displaystyle n}$, waarvoor er een holomorfe functie ${\displaystyle g}$ bestaat, zodanig dat

${\displaystyle f(z)=(z-a)^{n}g(z){\mbox{ en }}g(a)\neq 0}$

De multipliciteit van een nulpunt ${\displaystyle a}$ staat ook bekend als de verdwijnende orde van de functie op ${\displaystyle a}$.

De hoofdstelling van de algebra zegt dat als ${\displaystyle f}$ een niet-constante polynoom is, er minimaal één nulpunt is.