Ongelijkheid van Jensen

De ongelijkheid van Jensen is een stelling uit de kansrekening, genoemd naar de Deense wiskundige Johan Jensen.

Als ${\displaystyle X}$ een integreerbare reële stochastische variabele is met waarden in het open interval ${\displaystyle (a,b)}$, en ${\displaystyle f}$ is een convexe reële functie op ${\displaystyle (a,b)}$, dan geldt

${\displaystyle f(\operatorname {E} (X))\leq \operatorname {E} (f(X))}$

waarin ${\displaystyle \operatorname {E} }$ de verwachtingswaarde aangeeft.

Hierbij kan het rechterlid van de ongelijkheid eventueel oneindig zijn. De ongelijkheid blijft gelden als ${\displaystyle (a,b)}$ een halve rechte of de hele reële as is (${\displaystyle a=-\infty }$ en/of ${\displaystyle b=+\infty }$).

Voorbeelden van toepassing

De absolute waarde is een convexe functie, dus

${\displaystyle |\operatorname {E} X|\leq \operatorname {E} |X|}$

Algemener is voor ${\displaystyle r\geq 1}$ de functie ${\displaystyle x\mapsto |x|^{r}}$ convex, dus als ${\displaystyle 0<p\leq q}$ en ${\displaystyle f\in L^{q}}$, geldt

${\displaystyle \left(\operatorname {E} (|X|^{p})\right)^{1 \over p}\leq \left(\operatorname {E} (|X|^{q})\right)^{1 \over q}}$

Pas de ongelijkheid van Jensen toe op de stochastische variabele ${\displaystyle |X|^{p}}$ en de convexe functie ${\displaystyle x\mapsto |x|^{q/p}}$.

Hieruit volgt dat in het bijzonder geval van een kansmaat, de Lp-ruimten een dalende ketting van verzamelingen vormen:

${\displaystyle \ldots \supset L^{p}\supset L^{q}\supset \ldots \supset L^{\infty }}$