Loading AI tools
Van Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de wiskunde is de orthogonale groep van graad over een lichaam (Ned) / veld (Be) , genoteerd als , de groep van isometrieën in de -dimensionale ruimte die de oorsprong op zichzelf afbeelden. De oorsprong is onder de elementen van de orthogonale groep dus een dekpunt.
De orthogonale groep komt overeen met de groep van orthogonale n×n-matrices met elementen uit met als groepsbewerking de matrixvermenigvuldiging. Dit is een ondergroep van de algemene lineaire groep bepaald door
waarin de getransponeerde van is. De klassieke orthogonale groep over de reële getallen wordt meestal als geschreven. De stelling van Cartan-Dieudonné beschrijft de wiskundige structuur van de orthogonale groep.
Voor iedere orthogonale matrix geldt dat
Meer in het algemeen is de orthogonale groep van een kwadratische vorm, die niet singulier is, over de groep van matrices die deze kwadratische vorm behoudt.
Elke orthogonale matrix heeft een determinant die of gelijk is aan 1 of gelijk is aan −1. De orthogonale -matrices met determinant 1 vormen een normaaldeler van , die bekendstaat als de speciale orthogonale groep . Als de karakteristiek van gelijk is aan 2 geldt dat 1 = −1 en vallen en dus samen, anders is de nevenklasse van in gelijk aan 2. Veel auteurs definiëren in karakteristiek 2 en voor ruimten waarvan de dimensie een even getal is alternatief als de kern van de Dickson-invariant. Deze kern heeft dan meestal de index 2 in .
Zowel als zijn algebraïsche groepen, omdat de voorwaarde dat een matrix orthogonaal moet zijn, dat wil zeggen dat een matrix zijn eigen getransponeerde als inverse moet hebben, kan worden uitgedrukt als een stelsel van vergelijkingen met polynomen in de elementen van de matrix.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.