Pauli-spinmatrix

In de natuurkunde zijn de pauli-spinmatrices drie hermitische en unitaire 2×2-matrices. Ze worden meestal aangeduid met de Griekse letter sigma σ, maar ook wel met de tau τ, als ze met de symmetrieën van de isospin in verband worden gebracht.

De pauli-spinmatrices zijn:

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

Ze zijn naar de Oostenrijkse natuurkundige Wolfgang Pauli 1900-1958 genoemd, die ze in zijn theorie voor de kwantummechanische spin gebruikte.

Het spoor van de drie matrices is 0.

De reële deelalgebra die wordt voortgebracht door de ${\displaystyle \sigma _{i}}$, dus de verzameling van reële of complexe lineaire combinaties van de pauli-spinmatrices, is de volledige verzameling ${\displaystyle \mathrm {M} _{2}(\mathbb {C} )}$ van complexe hermitische 2×2-matrices. Deze algebra is isomorf met de reële clifford-algebra van de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, zodat de pauli-spinmatrices voorzien in een expliciet isomorfisme.

Vermenigvuldigingstabel

Noem

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I_{2}}$

dan volgt

${\displaystyle \cdot }$	${\displaystyle I_{2}}$	${\displaystyle \sigma _{1}}$	${\displaystyle \sigma _{2}}$	${\displaystyle \sigma _{3}}$
${\displaystyle I_{2}}$	${\displaystyle I_{2}}$	${\displaystyle \sigma _{1}}$	${\displaystyle \sigma _{2}}$	${\displaystyle \sigma _{3}}$
${\displaystyle \sigma _{1}}$	${\displaystyle \sigma _{1}}$	${\displaystyle I_{2}}$	${\displaystyle \mathrm {i} \ \sigma _{3}}$	${\displaystyle -\mathrm {i} \ \sigma _{2}}$
${\displaystyle \sigma _{2}}$	${\displaystyle \sigma _{2}}$	${\displaystyle -\mathrm {i} \ \sigma _{3}}$	${\displaystyle I_{2}}$	${\displaystyle \mathrm {i} \ \sigma _{1}}$
${\displaystyle \sigma _{3}}$	${\displaystyle \sigma _{3}}$	${\displaystyle \mathrm {i} \ \sigma _{2}}$	${\displaystyle -\mathrm {i} \ \sigma _{1}}$	${\displaystyle I_{2}}$

dus

${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=-\sigma _{j}\sigma _{i}\ }$ voor ${\displaystyle i\neq j}$

Literatuur

• W Pauli. Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons, 1927. in Zeitschrift für Physik, 43, blz 601