Loading AI tools
wiskunde Van Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de wiskunde beschrijft een relatie het verband of de betrekking tussen objecten. Iedere relatie is gedefinieerd tussen (ook: over) een aantal verzamelingen en verbindt, uit deze verzamelingen, de elementen die met elkaar in het bedoelde verband staan. Het aantal verzamelingen waartussen de relatie gedefinieerd is, heet de plaatsigheid of ariteit van de relatie. De relatie is een van de centrale begrippen uit de wiskunde. De meest voorkomende relatie is de tweeplaatsige relatie, die objecten in tweetallen aan elkaar koppelt.
De logicus Augustus De Morgan was rond 1860 de eerste die relaties zoals tegenwoordig bedoeld formaliseerde. Hij kwam ook met de eerste resultaten over relaties.[1] De filosofische definitie[2] van het begrip relatie die De Morgan formuleerde is:
Merk op dat hier strikt genomen enkel op tweeplaatsige relaties gedoeld wordt.
Na De Morgan publiceerde Charles Sanders Peirce meer resultaten over relaties. Bertrand Russell en Alfred North Whitehead brachten in hun Principia Mathematica[4] veel 19e-eeuwse resultaten samen, over relaties in het algemeen en orderelaties in het bijzonder. Dit werk heeft daarna gediend als de facto standaardreferentie voor vervolgstudie op het gebied van relaties.
Een -plaatsige relatie tussen de verzamelingen is gedefinieerd als een -tupel , waarin
Dat wil zeggen dat een natuurlijk getal is en een deelverzameling is van het cartesisch product van de verzamelingen . Men noteert voor de relatie ook wel of noemt eenvoudig de deelverzameling de relatie.
In sommige systemen van de axiomatische verzamelingenleer worden relaties gedefinieerd op klassen in plaats van verzamelingen. Deze aanpassing is onder andere nodig om de begrippen 'is een element van' en 'is een deelverzameling van' te kunnen beschrijven, zonder dat dit tot de russellparadox leidt.
Als een relatie is, wordt de grafiek van genoemd en worden de verzamelingen de domeinen van genoemd. Men zegt ook dat een relatie is tussen de verzamelingen .
Van het element worden argumenten van genoemd. Men zegt ook dat met elkaar 'in -relatie staan'. Als uit de context duidelijk is om welke relatie het gaat, wordt ook simpelweg gezegd dat met elkaar in relatie staan.
Het getal wordt de plaatsigheid van genoemd. Men spreekt hierbij van een -plaatsige relatie.
Als alle domeinen dezelfde verzameling zijn, spreekt men van een homogene relatie, of van een endorelatie. In dit geval zegt met ook dat een -plaatsige relatie op , of een -plaatsige over is.
Voor alle verzamelingen wordt de relatie , waarin de lege verzameling is, de lege relatie over genoemd.
Voor alle verzamelingen wordt de relatie , waarin , de universele relatie over genoemd.
De uitspraak " staan met elkaar in -relatie", d.w.z. , wordt op verschillende manieren genoteerd:
Bij een vierplaatsige relatie kan men bijvoorbeeld of schrijven. Bij een eenplaatsige relatie wordt dat of . Bij tweeplaatsige relaties wordt ook vaak de infixnotatie gebruikt: bijvoorbeeld voor een tweeplaatsige relatie .
Als voorbeeld kan men zich de drieplaatsige relatie voorstellen van reizen die mensen in de tijd van het Romeinse Rijk hebben gemaakt. Deze relatie is gedefinieerd over drie verzamelingen: de verzameling van alle mensen, de verzameling van alle vervoermiddelen en de verzameling van alle bestemmingen. Als men uit iedere verzameling één element neemt, geeft deze relatie aan of ze met elkaar in het bedoelde verband staan. Zo verbindt de relatie bijvoorbeeld de volgende elementen met elkaar: Hannibal uit de verzameling van alle mensen, de olifant als vervoermiddel en Rome als bestemming. Neemt men het vliegtuig uit de tweede verzameling, in plaats van de olifant, dan zal de relatie de elementen niet met elkaar verbinden. Dat wil zeggen: 'Hannibal is op een olifant naar Rome gereisd' en 'Hannibal heeft niet het vliegtuig naar Rome genomen'.
Bijvoorbeeld
De relatie , een drieplaatsige relatie tussen en , wordt vastgelegd door de deelverzameling van die bestaat uit de 3-tupels waarvoor geldt dat per naar heeft gereisd.
Er geldt Hannibal, olifant, Rome, ook geschreven als (Hannibal, olifant, Rome), want Hannibal is met olifanten naar Rome getrokken. Ook geldt Hannibal, boot, Rome, want Hannibal is met zijn olifanten door Spanje getrokken om naar Rome te gaan, dus heeft niet de boot genomen. De uitspraak 'Napoleon is te paard naar Rome gereisd' is wel waar, maar valt buiten het bereik van .
De tweeplaatsige relatie is de meest gebruikte soort relatie en is een van de centrale begrippen uit de wiskunde. Tweeplaatsige relaties worden in alle gebieden van de wiskunde gebruikt. De functie wordt bijvoorbeeld meestal gedefinieerd als een speciaal soort tweeplaatsige relatie en tweeplaatsige relaties met een eigenschap als bijectiviteit worden veelvuldig in bewijzen gebruikt, om bijvoorbeeld gelijkmachtigheid van verzamelingen aan te tonen.
Andere belangrijke toepassingen van tweeplaatsige relaties zijn equivalentierelaties, grafen en de verschillende ordes uit de ordetheorie.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.