Simplex (wiskunde)

Een simplex of n-simplex is in de wiskunde een ${\displaystyle n}$-dimensionaal analogon van de driehoek. Preciezer is een simplex het convexe omhulsel van ${\displaystyle n+1}$ onafhankelijke punten in een vectorruimte, dat wil zeggen dat geen ${\displaystyle m+2}$ van de punten in een ${\displaystyle m}$-dimensionale deelruimte liggen.

In het bijzonder is

• een 0-simplex een punt,
• een 1-simplex een lijnstuk,
• een 2-simplex een driehoek,
• een 3-simplex een viervlak,

in alle gevallen met hun inwendige. De naam zou gebaseerd zijn op het feit dat het het simpelste onderdeel van een d-dimensionale ruimte is.^[1]

Regelmatige simplex

Een simplex heet regelmatig als de afstand tussen twee van de ${\displaystyle n+1}$ punten telkens gelijk is. Als deze afstand telkens 1 is, is de inhoud van het regelmatig simplex

${\displaystyle {\frac {\sqrt {n+1}}{n!{\sqrt {2^{n}}}}}.}$

De standaard simplex

De standaard 2-simplex in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Een ${\displaystyle n}$-simplex is een ${\displaystyle n}$-dimensionaal object. Het kan gelegen zijn in de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ maar ook in een willekeurige hogerdimensionale ruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$ met ${\displaystyle q>n}$.

Een meer symmetrische vorm wordt verkregen als het simplex met de eenheidsvectoren als hoekpunten. Dit simplex wordt het standaard ${\displaystyle n}$-simplex genoemd en is de deelverzameling ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ gegeven door

${\displaystyle \Delta ^{n}=\left\{(t_{0},\cdots ,t_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid \Sigma _{i}{t_{i}}=1{\mbox{ en }}t_{i}\geq 0{\mbox{ voor alle }}i\right\}.}$

Het simplex ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ligt in het affiene hypervlak dat verkregen wordt door de voorwaarde ${\displaystyle t_{i}\geq 0}$ in bovenstaande definitie weg te laten. Het standaard ${\displaystyle n}$-simplex is een regelmatige polytoop met standaard ${\displaystyle (n-1)}$-simplexen als zijden.

De hoekpunten van het standaard ${\displaystyle n}$-simplex zijn de punten

${\displaystyle e_{0}=(1,0,0,\ldots ,0,0)}$

${\displaystyle e_{1}=(0,1,0,\ldots ,0,0)}$

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle e_{n}=(0,0,0,\ldots ,0,1)}$.

Er is een kanonieke afbeelding van de standaard ${\displaystyle n}$-simplex naar een willekeurige ${\displaystyle n}$-simplex met hoekpunten ${\displaystyle (v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n})}$ gegeven door

${\displaystyle (t_{0},t_{1},\ldots ,t_{n})\mapsto \sum _{i}t_{i}v_{i}.}$

De coëfficiënten ${\displaystyle t_{i}}$ worden de (genormaliseerde) barycentrische coördinaten van een punt in de ${\displaystyle n}$-simplex genoemd.