Singulariteit (wiskunde)

In de wiskunde is een singulariteit in het algemeen een punt, waar een bepaalde relevante eigenschap van een wiskundig object niet is gedefinieerd.

De functie

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$

bijvoorbeeld kent op de reële getallenlijn een singulariteit in het punt ${\displaystyle x=0}$. De functie lijkt te "ontploffen" tot ${\displaystyle \pm \infty }$ en is in dit punt niet gedefinieerd.

De functie

${\displaystyle g(x)=|x|}$

heeft ook een singulariteit in ${\displaystyle x=0}$, omdat de functie op dat punt niet kan worden gedifferentieerd.

Complexe functietheorie

De complexe functietheorie kent vier verschillende vormen van singulariteit. Veronderstel dat ${\displaystyle U}$ een open deelverzameling van het complexe vlak ${\displaystyle \mathbb {C} }$ is, dat het punt ${\displaystyle a}$ een element van ${\displaystyle U}$ is en dat de functie ${\displaystyle f}$ een holomorfe functie is die gedefinieerd is in een omgeving rond ${\displaystyle a}$ die ${\displaystyle a}$ uitsluit: ${\displaystyle U\setminus \{a\}}$.

• Geïsoleerde singulariteiten: Stel dat de functie ${\displaystyle f}$ niet is gedefinieerd in het punt ${\displaystyle a}$, hoewel de functie wel is gedefinieerd op ${\displaystyle U\setminus \{a\}}$.
  • Het punt ${\displaystyle a}$ is een ophefbare singulariteit van ${\displaystyle f}$, als er een holomorfe functie ${\displaystyle g}$ op alle ${\displaystyle U}$ kan worden gedefinieerd zodanig dat ${\displaystyle f(z)=g(z)}$ voor alle ${\displaystyle z\in U\setminus \{a\}}$. De functie ${\displaystyle g}$ is een continue vervanger van de functie ${\displaystyle f}$.
  • Het punt ${\displaystyle a}$ is een pool of niet-essentiële singulariteit van ${\displaystyle f}$, indien er een holomorfe functie ${\displaystyle g}$ bestaat die is gedefinieerd op ${\displaystyle U}$ en een natuurlijk getal ${\displaystyle n}$ zodanig dat ${\displaystyle f(z)=g(z)/(z-a)^{n}}$ voor alle ${\displaystyle z\in U\setminus \{a\}}$. De afgeleide in een niet-essentiële singulariteit kan al dan niet bestaan. Als ${\displaystyle g(a)}$ ongelijk is aan nul, zegt men dat ${\displaystyle a}$ een pool van orde ${\displaystyle n}$ is.
  • Het punt ${\displaystyle a}$ is een essentiële singulariteit van ${\displaystyle f}$, indien het noch een ophefbare singulariteit, noch een pool is. Het punt ${\displaystyle a}$ is dan en slechts dan een essentiële singulariteit als de laurentreeks oneindig veel machten van negatieve graad heeft.
• Vertakkingspunten komen in het algemeen voor bij meerwaardige functies, zoals ${\displaystyle {\sqrt {z}}}$ of ${\displaystyle \log(z)}$, die als ze gedefinieerd zijn op een zeker beperkt domein, binnen het domein eenduidig gedefinieerd kunnen worden.

Meetkunde

Veronderstel dat ${\displaystyle V}$ een affiene variëteit is, dat wil zeggen de oplossingsverzameling van een stelsel van veeltermvergelijkingen in ${\displaystyle n}$ veranderlijken. De raakruimte in een punt ${\displaystyle P}$ wordt bepaald door de veeltermen te vervangen door hun beste lineaire benadering in ${\displaystyle P}$. Elke veelterm ${\displaystyle f}$ afzonderlijk bepaalt een hypervlak door ${\displaystyle P}$ (met als vergelijking ${\displaystyle \mathrm {d} f(P)\cdot (X-P)=0}$) en de raakruimte is de doorsnede van die hypervlakken.

Het punt ${\displaystyle P}$ heet singulier punt of singulariteit als minstens een van die hypervlakken niet goed bepaald is, omdat ${\displaystyle \mathrm {d} f(P)=0}$, d.w.z. dat alle partiële afgeleiden van de overeenkomstige veelterm nul zijn in ${\displaystyle P}$.

Voorbeeld

Grafiek van de kromme met vergelijking ${\displaystyle x^{3}-y^{2}=0}$. De singulariteit in (0,0) valt op aan de 'doornvorm'

De derdegraadsveelterm in twee veranderlijken ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$

${\displaystyle f(x,y)=x^{3}-y^{2}}$

bepaalt een reële kromme in het vlak. De singuliere punten van die kromme vinden we door de partiële afgeleiden van ${\displaystyle f}$ samen gelijk te stellen aan 0:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=3x^{2}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}=-2y=0}$

Hieruit volgt dat (0,0) de enige singulariteit op de kromme is.

Zelfintersectie

De kromme met vergelijking ${\displaystyle y^{2}-x^{2}(x+1)=0}$ heeft een dubbelpunt in (0,0)

Een dubbelpunt, of meer in het algemeen een punt waar de variëteit zichzelf snijdt (zodat er verscheidene raakruimtes lijken te bestaan), is altijd een singulariteit.

Een triviaal voorbeeld hiervan is de vlakke kromme die bestaat uit de vereniging van de ${\displaystyle x}$-as en de ${\displaystyle y}$-as met vergelijking ${\displaystyle x\cdot y=0.}$

Een eenvoudig niet-triviaal (en irreducibel) voorbeeld is de kromme bepaald door de vergelijking

${\displaystyle f(x,y)=y^{2}-x^{2}(x+1)}$

Differentieerbare functies en catastrofen

De catastrofetheorie bestudeert het lokaal gedrag van functiekiemen rondom singulariteiten. Een singulariteit is in dat verband een kiem van differentieerbare functies

${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

met de eigenschap dat ${\displaystyle f(0)=Df(0)=0}$.^[1]

Zie ook

• Absolute waarde
• Asymptoot
• Catastrofetheorie
• Discontinuïteit
• Essentiële singulariteit
• Geïsoleerde singulariteit
• Oneindigheid
• Ophefbare singulariteit
• Singulariteit (natuurkunde)

Bronnen, noten en/of referenties

1. Theodor Bröcker, "Differentiable Germs and Catastrophes," London Mathematical Society Lecture Notes 17, Cambridge University Press 1975.