Tangensregel

De tangensregel is een stelling uit de goniometrie die stelt dat in een willekeurige driehoek in het platte vlak met zijden ${\displaystyle a,\ b}$ en ${\displaystyle c}$ en de overstaande hoeken ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ en ${\displaystyle \gamma }$ geldt, dat:

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}}$

In de zeventiende eeuw werd de tangensregel bewezen met meetkunde^[1]:, vanaf de negentiende eeuw met goniometrische verbanden.

Omdat:

${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )=\tan {\tfrac {1}{2}}(180^{\circ }-\gamma )=\tan(90^{\circ }-{\tfrac {1}{2}}\gamma )=\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma }$

kan de tangensregel ook worden geschreven als:

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma }}}$

Bewijs 

Volgens de sinusregel is:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}=k\;(k\neq 0)}$

Dus: ${\displaystyle a=k\cdot \sin \alpha }$ en ${\displaystyle b=k\cdot \sin \beta }$, waarmee:

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {k\cdot \sin \alpha -k\cdot \sin \beta }{k\cdot \sin \alpha +k\cdot \sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}}$

De som- en verschilregel voor sinussen, dat zijn twee van de vier regels van Simson, zijn:

${\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha \pm \beta )\cdot \cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha \mp \beta )}$

Daarmee is dan:

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\cdot \cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\cdot \cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}:{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}}$

Zodat inderdaad:

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}}$

Externe links

• https://www.pyth.eu/tangensregel

Bronnen, noten en/of referenties

1. H. Hietbrink, tangensregel, Pythagoras 60-6, juni 2021