Uniek factorisatiedomein

In de abstracte algebra, een onderdeel van de wiskunde, is een uniek factorisatiedomein, UFD, een commutatieve ring, waarin elk element dat geen nul is en geen eenheid op een unieke manier kan worden geschreven als een product van irreducibele of priemelementen, op dezelfde manier dat de gehele getallen in priemgetallen kunnen worden ontbonden.

Merk op dat een uniek factorisatiedomein voorkomt in de onderstaande hiërarchie:

eindige lichamen/velden ⊂ lichamen/velden ⊂ Euclidische domeinen ⊂ hoofdideaaldomeinen ⊂ unieke factorisatiedomeinen ⊂ integriteitsdomeinen ⊂ commutatieve ringen ⊂ ringen.

Ieder hoofdideaaldomein is een uniek factorisatiedomein, maar het omgekeerde is niet waar.

Definitie

Een uniek factorisatiedomein is een integriteitsdomein ${\displaystyle R}$ waarin ieder element ${\displaystyle x\in R}$ dat niet gelijk is aan 0, geschreven kan worden als een product van irreducibele ementen ${\displaystyle p_{k}}$ van ${\displaystyle R}$ en een eenheid ${\displaystyle u,}$ en dat deze schrijfwijze op de volgorde na uniek is, in de zin dat als

${\displaystyle x=p_{1}p_{2}\ldots p_{n}u=q_{1}q_{2}\ldots q_{m}v,}$

waarin de ${\displaystyle q_{j}}$ ook irreducibele elementen van ${\displaystyle R}$ zijn en ${\displaystyle v}$ een eenheid is, dan is

${\displaystyle m=n}$ en de ${\displaystyle q_{j}}$ zijn een permutatie van de ${\displaystyle p_{k}.}$