meetkundige figuur met vier hoeken en zijden Van Wikipedia, de vrije encyclopedie
Een vierhoek is een meetkundige figuur die uit vier hoekpunten en vier zijden bestaat. Het is op de driehoek na de eenvoudigste veelhoek. De som van de hoeken in de vier hoekpunten van een vierhoek is 360 graden.
Een vierhoek kan al of niet convex zijn. Gelijkwaardige criteria voor convexiteit zijn:
Er staat onderaan een diagram met de indeling van de convexe vierhoeken. Een vierhoek die niet convex is, wordt concaaf genoemd. Het is de stelling van Varignon dat de middens van de vier zijden van iedere vierhoek een parallellogram vormen, het parallellogram van Varignon.
Een vierhoek heet ontaard als een van de vier hoeken een gestrekte hoek is. Het omsloten gebied is dan hetzelfde als dat van een driehoek. Een diagonaal valt in dat geval samen met twee zijden.
Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvan de vier hoekpunten op dezelfde cirkel liggen. De vier zijden zijn dus koorden van deze omgeschreven cirkel. De som van de overstaande hoeken in een koordenvierhoek is 180 graden. Het bewijs hiervan steunt op eigenschappen van middelpunts- en omtrekshoeken. Een rechthoek en een vierkant zijn koordenvierhoeken. Een onregelmatige vierhoek kan een koordenvierhoek zijn en een trapezium alleen als het gelijkbenig is.
Een convexe vierhoek is een koordenvierhoek dan en slechts dan als
Deze eigenschap is de stelling van Ptolemaeus.
Een raaklijnenvierhoek is een vierhoek waarvan de vier zijden aan dezelfde cirkel raken. De vier zijden zijn dus raaklijnen aan deze ingeschreven cirkel. Als en de lengtes van overstaande zijden zijn en en ook, dan geldt dat . Voor de oppervlakte van een raaklijnenvierhoek geldt: waarbij de omtrek is, dus
en de straal van de cirkel. Vlieger, ruit en vierkant zijn raaklijnenvierhoeken.
Een vierhoek die zowel koordenvierhoek als raaklijnenvierhoek is, heet een bicentrische vierhoek. Een vierkant is een bicentrische vierhoek. Wanneer de straal is van de omgeschreven cirkel, die van de ingeschreven cirkel en de afstand tussen de twee middelpunten van deze cirkels, dan geldt
Een vlieger is een vierhoek waarvan de diagonalen elkaar loodrecht snijden. Als en de lengtes van overstaande zijden zijn en en ook, dan is een vierhoek een vlieger of orthodiagonaal dan en slechts dan als .
Neemt men vier punten en , waarvan er geen drie op één lijn liggen, met alle zes mogelijke verbindingslijnen, dan wordt deze figuur een volledige vierhoek genoemd. De snijpunten en heten de diagonaalpunten van de volledige vierhoek.
Een volledige vierhoek is een configuratie.
Neemt men juist vier lijnen, waarvan er geen twee evenwijdig zijn, met alle zes mogelijke snijpunten, dan wordt de figuur een volledige vierzijde genoemd. De drie lijnen tussen hoekpunten die niet al een zijde zijn, heten de diagonalen. De volledige vierzijde is de duale versie van de volledige vierhoek.
Een volledige vierzijde is een configuratie.
vierhoeken | |||||
---|---|---|---|---|---|
┌─────────────┼─────────────┐ | |||||
concaaf | convex | zelfdoorsnijdend | |||
![]() |
![]() |
![]() | |||
┌─────────────┼─────────────┐ | |||||
![]() |
![]() |
![]() | |||
koordenvierhoek | trapezium | raaklijnenvierhoek met ingeschreven cirkel | |||
| ┌───────────┤ | | | ||||
![]() gelijkbenig trapezium |
![]() parallellogram rotatiesymmetrisch |
![]() vlieger diagonalen loodrecht | |||
└─────┬─────┘ | └─────┬─────┘ | ||||
![]() rechthoek rechte hoeken |
![]() ruit gelijke zijden | ||||
└──────────┬─────────┘ | |||||
![]() vierkant |
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.