Vrije groep

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een vrije groep een groep ${\displaystyle G}$ die een deelverzameling ${\displaystyle S}$ bevat zodat elk element van ${\displaystyle G}$ op precies een manier als gereduceerd woord van elementen van ${\displaystyle S}$ en hun inversen kan worden geschreven. Een soort groep die op een vrije groep lijkt, maar toch anders is, is een vrije abelse groep.

Definitie

Een groep ${\displaystyle G}$ met groepoperatie ${\displaystyle \cdot }$ is vrij over een deelverzameling ${\displaystyle S\subseteq G}$ als elk element ${\displaystyle a\in G}$ op precies een manier geschreven kan worden als een product ${\displaystyle s_{1}^{x_{1}}\ldots s_{n}^{x_{n}}=a}$, waarbij voor alle ${\displaystyle i\leq n}$ geldt dat ${\displaystyle s_{i}\in S}$ en ${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}$, en voor alle ${\displaystyle i<n}$ dat ${\displaystyle s_{i}\neq s_{i+1}}$. Zo'n product wordt in deze context een gereduceerd woord genoemd. Merk op dat het lege product (${\displaystyle n=0}$) hierbij het neutrale element ten opzichte van de groepoperatie representeert.

De machtnotatie is als volgt gedefinieerd:

• Als ${\displaystyle x>0}$, dan geldt ${\displaystyle s^{x}=\underbrace {s\cdot \ldots \cdot s} _{x{\text{ keer}}}}$.
• Als ${\displaystyle x<0}$, dan geldt ${\displaystyle s^{x}=\underbrace {s^{-1}\cdot \ldots \cdot s^{-1}} _{-x{\text{ keer}}}}$.

Voorbeelden

• ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ is een vrije groep over ${\displaystyle S=\{1\}}$.
• De triviale groep ${\displaystyle (\{0\},+)}$, die alleen uit het neutrale element bestaat, is vrij over ${\displaystyle S=\varnothing }$.