Abelsk integral

Abelske integral er integral av algebraiske funksjonar. Ved inversjon av abelske integral vert dei såkalla abelske funksjonane definert. Dei enklaste døma er dei trigonometriske og dei elliptiske funksjonane. Integrala er kalla opp etter Niels Henrik Abel.

Dei abelske integrala har forma

${\displaystyle \int _{z_{0}}^{z}R\left(x,w\right)dx,}$

der ${\displaystyle R\left(x,w\right)}$ er ein vilkårleg rasjonell funksjon av dei to variablane ${\displaystyle x}$ og ${\displaystyle w}$. Desse variablane er knytte til kvarande med likninga

${\displaystyle F\left(x,w\right)=0,\,}$

der ${\displaystyle F\left(x,w\right)}$ er eit irreduktibelt polynom i ${\displaystyle w}$,

${\displaystyle F\left(x,w\right)\equiv \phi _{n}\left(x\right)w^{n}+\cdots +\phi _{1}\left(x\right)w+\phi _{0}\left(x\right),\,}$

der koeffisientane ${\displaystyle \phi _{j}\left(x\right)}$, ${\displaystyle j=0,1,\ldots ,n}$ er rasjonelle funksjonar av ${\displaystyle x}$. Verdien av eit abelsk integral er ikkje berre avhengig av grenseverdiane til integralet, men òg kva veg ein integrerer, og dermed ein fleirverdifunksjon av ${\displaystyle z}$.