Gruppe (matematikk)
mengde elementer sammen med en binæroperasjon / From Wikipedia, the free encyclopedia
En gruppe i matematikken er en mengde elementer sammen med en binæroperasjon. Den må være slik at fire aksiomer er oppfylt. For det første må den være lukket slik at kombinasjonen av to element alltid gir et element i samme gruppe. Videre må den være assosiativ, og det må finnes et enhetselement slik at hvert element har en invers. Et av de mest velkjente eksemplene på en gruppe er mengden av heltall hvor den binære operasjonen er vanlig addisjon. Enhetselementet er da tallet 0.
Ved å gi en abstrakt formulering av gruppeaksiomene som er uavhengig av konkrete grupper og deres operasjoner, kan en på en fleksibel måte behandle objekter med svært ulikt matematisk opphav. Dette kan gjøres samtidig som man beholder deres vesentlige strukturelle egenskaper. Studiet av grupper kalles gruppeteori.
Grupper har et fundamentalt slektskap med begrepet symmetri. For eksempel, symmetrigruppen til et geometrisk objekt danner en gruppe. Den består av mengden alle transformasjoner som ikke endrer objektet og operasjonen som kombinerer to slike transformasjoner ved å foreta den ene etter den andre.