Modulær aritmetikk
From Wikipedia, the free encyclopedia
Modulær aritmetikk er basert på å telle 1,2,3 og så videre opp til et tall n hvor man starter med 1 igjen. Tallet n kalles modulus for denne tellemåten. Med denne endelige tallmengden kan man utføre de fire vanlige regneoperasjonene som dermed definerer en ny aritmetikk.
Ved bruk av en vanlig klokke utfører man ubevisst modulær addisjon og subtraksjon med modulus n = 12. Hvis klokken for eksempel viser 5, vil den vise 2 etter 9 timer. På tilsvarende vis ville den ha vist 8 hvis den hadde blitt avlest 9 timer tidligere. Med matematisk notasjon ville man uttrykke disse to fastsettelsene av tidspunktene som 5 + 9 ≡ 2 (mod 12) og 5 - 9 ≡ 8 (mod 12). Det betyr at regneoperasjonene gjøres «modulo» tolv, det vil si med modulus 12. Modulær aritmetikk blir derfor noen ganger omtalt som «klokkearitmetikk».
For å angi alle timene i et helt døgn ville man på samme vis bruke en modulus n = 24 for å skille mellom timer om natten og om dagen. Den samme, modulære aritmetikken benyttes også når man angir antall grader i en vinkel hvor n = 360° benyttes.
Det var Carl Friedrich Gauss som etablerte modulær aritmetikk som en viktig del av moderne matematikk i sitt store verk Disquisitiones Arithmeticae på begynnelsen av 1800-tallet. Her undersøkte han grunnlaget for konstruksjon av regulære mangekanter. Slike polygoner har samme geometri eller symmetri som en klokke. I vår tid benyttes modulær aritmetikk innen informatikk som en bestanddel av de viktigste programmeringsspråkene og spiller en sentral rolle i moderne kryptografi. Dessuten inngår den ved bestemmelsen av kontrollsiffer i personnummer samt sjekking av tallene som inngår i ISBN- og IBAN-systemene.