Naturlig logaritme
From Wikipedia, the free encyclopedia
Naturlig logaritme til et positivt, reelt tall er logaritmen til tallet når grunntallet i logaritmen er Eulers tall e = 2.71828 1828 459... . I tillegg til å være reelt, er dette tallet også transcendentalt.
Generelt skrives den naturlige logaritmen av tallet x som ln x, loge x eller noen ganger når grunntallet e er underforstått, bare log x. Noen ganger omsluttes argumentet x med en parentes slik at man skriver ln(x ) eller loge (x ) istedet. Dette gjøres spesielt når argumentet er en sammensatt eller mer komplisert størrelse.
Enkelt sagt er den naturlige logaritmen til et tall x den potensen som e må opphøyes i for å gi tallet x. For eksempel, ln 7.5 er 2.0149... fordi 7.5 = e 2.0149.... Den naturlige logaritme til e er 1 fordi e 1 = e, mens den naturlige logaritmen til 1 er 0 da e 0 = 1.
Den naturlige logaritmen ln x kan betraktes som en reell funksjon av the positive argumentet x og kalles for den naturlige logaritmefunksjonen. Fra definisjonen følger at
for all reelle tall x > 0. Funksjonen er jevnt økende i dette åpne intervallet. Den naturlige logaritmefunksjonen er derfor den inverse av den naturlige eksponentialfunksjonen. Det er ekvivalent med at ln e x = x.
Ved bruk av naturlige logaritmer kan generelle logaritmer med andre grunntall lett regnes ut. For eksempel er de vanlige, briggske logaritmene med grunntall 10, lik med de naturlige logaritmene dividert med ln 10 = 2.302 585... . På den måten kan de spesielle og gunstige egenskapene til naturlige logaritmer overføres til bruk av logaritmer med andre grunntall.
Den naturlige logaritmefunksjonen kan utvides til å gjelde også for negative og komplekse argument. Men da er den generelt ikke lenger entydig, men spiller likevel en sentral rolle i kompleks analyse.
De naturlige logaritmene er tett knyttet til de opprinnelige, nepperske logaritmene som John Napier foreslo og beregnet i 1614. Men i stedet for grunntallet e, er disse basert på grunntallet 1/e. Denne logaritmen av et tall blir derfor mindre desto større tallet er. I tillegg hadde de den upraktiske egenskapen at logaritmen til 1 ikke var null. I noen sammenhenger blir også naturlige logaritmer kalt for nepperske, særlig i eldre litteratur.