Vektorrom
Matematisk konsept / From Wikipedia, the free encyclopedia
Et vektorrom eller et lineært rom er i matematikken en struktur med en mengde av elementer kalt vektorer og en tilhørende mengde av skalarer, sammen med operasjoner som gjør at vektorene kan skaleres og adderes. Operasjonene er ikke definert eksplisitt, men gjennom et sett av aksiomer som beskriver egenskaper til operasjonene. Skalarene er vanligvis reelle eller komplekse tall, men kan mer generelt være elementer i en kropp. Vektorrom er basert på en abstraksjon av egenskaper fra geometri, og gjør at vektoregenskapene kan generaliseres til høyere dimensjoner og mange typer elementer. Mange viktige matematiske resultater kan utledes for samtlige vektorrom ved å basere utledningen kun på de definerte aksiomene.
Fra plangeometri og romlig geometri er det kjent at to geometriske vektorer kan skaleres og adderes, slik som vist i planet på figuren til høyre. Vektorrommet har to operasjoner, kalt vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon, som generaliserer egenskapene til romlige vektorer. Elementene i et vektorrom kan adderes og skaleres, og resultatet vil også være inneholdt i vektorrommet. Denne egenskapen omtales som at rommet er lukket under vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon. Linearitetsegenskapene til vektoraddisjonen er også svært viktige, og vektorrom er sentrale i studiet av lineær algebra og i funksjonalanalyse.
Ut fra definisjonen av vektorrom kan ett og samme matematiske resultat vise seg å være gyldig for tilsynelatende ulike objekter som funksjoner og matriser, fordi begge disse typene objekter er elementer av vektorrom. Vektorrom er dermed en abstraksjon som gjør en i stand til å studere mange ulike matematiske objekter ut fra et sett av felles egenskaper.
Et vektorrom inneholder generelt ingen definisjon av nærhet, lengde eller vinkel, og vektorrommet kan dermed brukes til å studere egenskaper som ikke avhenger disse begrepene. Det er imidlertid mulig å utvide definisjonen av vektorrom til også å inneholde et lengdemål, kalt en norm, og et vinkelmål, kalt et indreprodukt.
Dimensjonen til et vektorrom er løst sagt lik antall uavhengige «retninger» i rommet. Dimensjonen kan være endelig eller uendelig. Dimensjonen er lik antall basisvektorer i rommet. For eksempel vil mengden av alle vektorer med tre reelle koordinater (x,y,z) kunne defineres som et tredimensjonalt vektorrom, med en passende definisjon av addisjon og skalarmultiplikasjon. Mengden av alle kontinuerlige funksjoner kan defineres som et uendeligdimensjonalt vektorrom (et funksjonsrom).