Kardinaltall

Kardinaltall (fra latin cardinalis, «viktigst, fremste, vesentlig»)^[1] eller grunntall^[2] er tall som brukes til å angi størrelsen på en mengde. En slik størrelse kalles kardinalitet.

Alef-null, det minste endelige kardinaltalet.

Dersom det eksisterer en bijeksjon mellom to mengder har de samme kardinalitet. For å finne størrelsen på en mengde forsøker man ofte å finne en bijeksjen til en mengde med en allerede kjent kardinalitet. Kardinaltallene er en utvidelse av de naturlige tallene og inneholder i tillegg de uendelige kardinaltallene (Alef-tall).

For å håndtere tilfellet med uendelige mengder, har de uendelige kardinaltallene blitt introdusert, som ofte er betegnet med den hebraiske bokstaven ℵ (alef) merket med underskrift som indikerer deres rangering blant de uendelige kardinalene. Den første av disse er kardinaltall א₀, som viser til kardinaliteten til mengden av alle de naturlige tallene. Det er en transfinitt rekke av kardinaltall:

${\displaystyle 0,1,2,3,\ldots ,n,\ldots$ ;\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots ,\aleph _{\alpha },\ldots .\ }

For en endelig mengde er kardinaliteten lik mengden element i mengden, og to mengder med samme kardinalitet, har like mange element. Uendelige eller transfinitte mengder har uendelig kardinaltal, og for desse er det utviklet en egen matematisk teori.

Kardinaltallene ble innført av den tyske matematikeren Georg Cantor (1845-1918), som grunnla den moderne mengdelæren.^[3]