Kategori (matematikk)

I matematikken kan egenskaper til mange matematiske systemer uttrykkes ved hjelp av diagrammer bestående av piler. Ved å innføre kategorier kan man formalisere denne ideen.

Definisjon

En kategori ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ består av en klasse objekter og for hvert par ${\displaystyle a,b}$ av objekter en mengde ${\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)}$ av morfier fra ${\displaystyle a}$ til ${\displaystyle b}$ og for hvert trippel ${\displaystyle a,b,c}$ av objekter en sammensettingsfunksjon ${\displaystyle \circ$ :{\mathcal {C}}(b,c)\times {\mathcal {C}}(a,b)\to {\mathcal {C}}(a,c)} slik at følgende aksiomer holder

• Assosiativitet av sammensetningen: Hvis ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(a,b)}$, ${\displaystyle g\in {\mathcal {C}}(b,c)}$ og ${\displaystyle h\in {\mathcal {C}}(c,d)}$, så er ${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}$.
• Enhet: For hvert objekt ${\displaystyle a}$ finnes en identitetsmorfi ${\displaystyle 1_{a}\in {\mathcal {C}}(a,a)}$, og ${\displaystyle f\circ 1_{a}=f}$ og ${\displaystyle 1_{a}\circ g=g}$.

Eksempler

• Mengder og funksjoner er en kategori.
• Topologiske rom og kontinuerlige funksjoner er en kategori.
• En kategori med kun ett objekt er en monoide.