Tallkropp

I matematikken betegner en kropp (på engelsk field) en mengde elementer (for eksempel tall) hvor man kan utføre operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, samt at alle elementer i mengden har en multiplikativ invers.^[1]

Definisjon

En kropp er en kommutativ ring ${\displaystyle (k,+,\cdot )}$ slik at for hvert element ${\displaystyle r\in k}$ hvor ${\displaystyle r\neq 0}$ har en multiplikativ invers: det fins et element ${\displaystyle s\in k}$ slik at ${\displaystyle s\cdot r=1}$.

Eksempler

• De rasjonale tallene ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, de reelle tallene ${\displaystyle \mathbb {R} }$ og de komplekse tallene ${\displaystyle \mathbb {C} }$ er kropper.
• De hele tallene ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ er ikke en kropp siden ingen tall unntatt ${\displaystyle -1}$ og ${\displaystyle 1}$ har en invers.
• For hvert primtall ${\displaystyle p}$ er heltallene modulo ${\displaystyle p}$ en kropp ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} =\{0,1,2,\ldots ,p-1\}}$. Dette er en endelig kropp.
• For hvert primtall ${\displaystyle p}$ gir ${\displaystyle p}$-adisk komplettering av de rasjonale tallene kroppen ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ av p-adiske tall.