Lie-gruppe

Lie-gruppe er innen matematikk en gruppe ${\displaystyle G}$ som også er en mangfoldighet ${\displaystyle M}$ der gruppeoperasjonen og dens invers er glatt. Uformelt kan man anse disse som ett geometrisk objekt med en Binær operasjon som Deriverbar uendelig mange ganger.

Navnet kommer fra den norske matematikeren Sophus Lie, som arbeidet med differensialligninger, og oppdaget at løsningene han fant hadde symmetrier. Hans arbeide med disse symmetriene la grunnen for den moderne geometrien, der liegrupper og deres operasjoner på topologiske rom spiller mange av hovedrollene.^[1]

Et eksempel er de reelle tallene ${\displaystyle M=\mathbb {R} }$ med gruppeoperasjon ${\displaystyle +}$ og standardtopologien: Her er gruppeoperasjonen

${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ (a,b)\mapsto a+b}$

kontinuerlig, og det samme gjelder inversfunksjonen

${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ a\mapsto -a}$.

Et annet eksempel vil være en sirkel ${\displaystyle S^{1}}$ og rotasjon med en vinkel ${\displaystyle \theta }$.

De fleste Lie-grupper forekommer som matrisegrupper^[1] og kan derfor anses som undergrupper av den generelle lineære gruppen

${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )=\left\{A\in M_{n,n}(\mathbb {R} )\mid \det(A)\neq 0\right\}}$.

Lie fant at siden gruppen da har en Kalkulus, kan man forstå ${\displaystyle G}$ sin infinitesimale struktur rundt identiteten ved dens Lie-algebra.

Formell definisjon

En liegruppe består av en trippel ${\displaystyle (G,\cdot ,\tau )}$ der ${\displaystyle G}$ er en mengde, ${\displaystyle \cdot }$ er en binær operasjon på mengden og ${\displaystyle \tau }$ er en topologi på mengden, slik at ${\displaystyle (G,\cdot )}$ er en gruppe, ${\displaystyle (G,\tau )}$ er en deriverbar mangfoldighet, og avbildningene ${\displaystyle \Phi \colon G\times G\to G}$ og ${\displaystyle i\colon G\to G}$ gitt av ${\displaystyle \Phi (g,h)=g\cdot h}$, og ${\displaystyle i(g)=g^{-1}}$, er glatte.