Ring (matematikk)

En ring er i matematikk en algebraisk struktur definert med to binæroperasjoner, addisjon og multiplikasjon ^[1], som har mange av de samme egenskapene som vi finner hos heltallene. Mengden av hele tall ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, sammen med den vanlige definisjonen av addisjon og multiplikasjon, er et eksempel på en ring. Denne kan utvides til nye ringer. Ett eksempel er gaussiske heltall ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$. Mengden av alle matriser er et eksempel på en ikke-kommutativ ring.

Definisjon

En ring ${\displaystyle R}$ er en trippel ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$, hvor ${\displaystyle R}$ er en mengde og ${\displaystyle +:R\times R\to R}$ og ${\displaystyle \cdot :R\times R\to R}$ binæroperasjoner slik at følgende aksiomer er oppfylt. For alle ${\displaystyle a,b,c\in R}$ har vi:

• (assosiativitet) ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$
• (kommutativitet) ${\displaystyle a+b=b+a}$
• (additiv identitet) Det fins et element ${\displaystyle 0\in R}$ slik at ${\displaystyle 0+a=a+0=a}$
• (multiplikativ identitet) Det fins et element ${\displaystyle 1\in R}$ slik at ${\displaystyle 1\cdot a=a\cdot 1=a}$
• (additiv invers) Det fins et element ${\displaystyle d\in R}$ slik at ${\displaystyle a+d=0}$
• (distributivitet) ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$ og ${\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$

${\displaystyle (R,+)}$ er med andre ord en abelsk gruppe og ${\displaystyle (R,\cdot )}$ er en semigruppe.

Videre definisjoner

• ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ er en kommutativ ring viss ${\displaystyle \cdot }$ også er kommutativ: ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$ for alle ${\displaystyle a,b\in R}$.
• ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ er en kropp viss ${\displaystyle (R^{*},\cdot )}$ danner en gruppe, hvor ${\displaystyle R^{*}}$ er mengden av alle elementer i ${\displaystyle R}$ utenom den additive identiteten ${\displaystyle 0}$.