Ulikhet (matematikk)

En ulikhet er i matematikk et utsagn som uttrykker at to størrelser er ulike. Ulikheter består av en venstreside og en høyreside samt et ulikhetstegn.

De viktigste grunnformene for ulikheter er:

• x < y («x er mindre enn y»)
• x ≤ y («x er mindre enn eller lik y»)
• x > y («x er større enn y»)
• x ≥ y («x er større enn eller lik y»)
• x ≠ y («x er ulik y»)

De første fire formene kan forekomme i alle ordnede mengder (dvs. mengder som har elementer med en entydig rekkefølge). Den siste av disse formene er en negasjon av en ligning. Selv om den dermed er en «ulikhet» i ordets beste mening, regnes den vanligvis ikke til ulikheter i egentlig forstand, siden den ikke utgjør en selvstendig klasse uttrykk. Den kan også forekomme i mengder som ikke er ordnet. (Men hvis den brukes i en ordnet mengde, gjelder at «x ≠ y» er ekvivalent til «x < y eller x > y».)

En ulikhet kan være sann eller usann, eller den kan inneholde én eller flere variabler. Å løse en ulikhet innebærer å finne verdier for variablene som medfører at ulikheten er sann. En ulikhet kan ha ingen, én eller flere løsninger eller ett eller flere intervaller som løsning. De følgende eksemplene illustrerer noen av disse tilfellene:

${\displaystyle 2+2<5}$		sant
${\displaystyle 3>\pi }$		usant (se π)
${\displaystyle (x+1)(x-1)\leq -12}$		ingen løsning
${\displaystyle x^{2}+9\leq 6x}$		én løsning: 3
${\displaystyle x(10-x)\geq 24}$		løsningen er intervallet [4, 6]
${\displaystyle x^{3}-9x^{2}+18x<0}$		løsningen består av intervallene ${\displaystyle (-\infty ,0)\cup (3,9)}$

Ekvivalensregler

Ved omforming av ulikheter gjelder noen regler for ekvivalens. Disse reglene er stort sett de samme som også gjelder ved løsning av ligninger, bortsett fra at ulikhetstegnet i visse situasjoner må snus. Noen av de viktigste reglene er sammenstilt her. (Reglene er her eksemplifisert med <, men gjelder analogt for >, ≤ og ≥.)

• Når ulikhetens venstre og høyre sider byttes om, må også ulikhetstegnet snus:
  • ${\displaystyle x<y\quad \Leftrightarrow \quad y>x}$
• Ulikheter er transitive:
  • ${\displaystyle x<y{\text{ og }}y<z\quad \Rightarrow \quad x<z}$
• Addisjon (eller subtraksjon) av samme ledd på begge sider av ulikheten gir en ekvivalent ulikhet:
  • ${\displaystyle x<y\quad \Leftrightarrow \quad x+a<y+a}$
• Ved multiplikasjon (og divisjon) av en ulikhet må ulikhetstegnet snus hvis og bare hvis leddet som man ganger (resp. deler) begge sidene med, er negativt:
  • Hvis og bare hvis a > 0, gjelder ${\displaystyle x<y\quad \Leftrightarrow \quad a\cdot x<a\cdot y}$
  • Hvis og bare hvis a < 0, gjelder ${\displaystyle x<y\quad \Leftrightarrow \quad a\cdot x>a\cdot y}$
  • Dermed gjelder bl.a. (ved a = −1): ${\displaystyle x<y\quad \Leftrightarrow \quad -x>-y}$
• For potensregning gjelder tilsvarende at ulikhetstegnet må snus hvis og bare hvis eksponenten er negativ (gitt at begge sidene av ulikheten er positive):
  • Hvis og bare hvis a > 0, gjelder ${\displaystyle 0<x<y\quad \Leftrightarrow \quad 0<x^{a}<y^{a}}$
  • Hvis og bare hvis a < 0, gjelder ${\displaystyle 0<x<y\quad \Leftrightarrow \quad x^{a}>y^{a}>0}$
  • Dermed gjelder bl.a. (ved a = 0,5): ${\displaystyle 0<x<y\quad \Leftrightarrow \quad 0<{\sqrt {x}}<{\sqrt {y}}}$
  • ... og (ved a = −1): ${\displaystyle 0<x<y\quad \Leftrightarrow \quad {\tfrac {1}{x}}>{\tfrac {1}{y}}>0}$

Ulikhetstegn

Tabellen under viser de viktigste sammenligningstegnene (likhets- og ulikhetstegn).

Symbol	Betydning	Unicode	Symbol	Betydning	Unicode
=	lik	U+003D	≠	ulik	U+2260
<	mindre enn	U+003C	≮	ikke mindre enn	U+226E
>	større enn	U+003E	≯	ikke større enn	U+226F
≤	mindre enn eller lik	U+2264	≰	verken lik eller mindre enn	U+2270
≦		U+2266
⩽		U+2A7D
≥	større enn eller lik	U+2265	≱	verken lik eller større enn	U+2271
≧		U+2267
⩾		U+2A7E
≲	mindre enn eller ekvivalent	U+22DC	≴	verken ekvivalent eller mindre enn	U+2274
≳	større enn eller ekvivalent	U+2273	≵	verken ekvivalent eller større enn	U+22E7
≪	mye mindre enn	U+226A	≫	mye større enn	U+226B

Kommentarer:

• Symbolene ≤, ≦ og ⩽ er typografiske varianter med samme betydning (likeså ≥, ≧, ⩾).
• De gjennomstrøkne ulikhetstegnene er ikke mye brukt, siden de i ordnede mengder er overflødige (f.eks. er «x ≮ y» ensbetydende med «x ≥ y»).
• De to sistnevnte symbolene («mye mindre/større») kan brukes for å vise at en side av ulikheten er flere størrelsesordener mindre enn den andre: ${\displaystyle 10^{-6}\ll 10^{6}}$.

Eksterne lenker

• Artikkel om ulikheter på Encyclopedia of Mathematics (engelsk)